Le double puits, en Python

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · E. Étude qualitative d'un mouvement conservatif à une dimension

Énoncé

(Capacité numérique.) Un point matériel de masse $m$ se déplace sans frottement sur un axe, dans le potentiel $E_{p} (x) = a x^{4} - b x^{2}$ ( $a, b > 0$ ).

1) Adimensionnement. On pose $x_{e} = b / (2 a)$ , $τ = m / (2 b)$ , $x = x_{e} u$ et $t = τ s$ . Montrer que l'équation du mouvement s'écrit $u^{''} = u - u^{3}$ , les dérivées étant prises par rapport à $s$ , et que $e = \frac{1}{2} u^{'2} - \frac{1}{2} u^{2} + \frac{1}{4} u^{4}$ se conserve. Relier $e$ à l'énergie mécanique.

2) Tracer l'allure de $e_{p} (u) = - \frac{1}{2} u^{2} + \frac{1}{4} u^{4}$ . Décrire les mouvements possibles selon la valeur de $e$ (on distinguera $- \frac{1}{4} < e < 0$ et $e > 0$ ). Montrer que la pulsation réduite des petites oscillations au fond d'un puits vaut $2$ .

3) Écrire un script Python qui résout $u^{''} = u - u^{3}$ avec scipy.integrate.odeint, après passage à un système d'ordre 1, pour $e \in {- 0, 2; - 0, 01; 0, 01; 0, 5}$ (on lâchera le point sans vitesse depuis $u_{0} = 1 + 1 + 4 e$ , dont on justifiera le choix), trace les quatre trajectoires dans le plan de phase $(u, u^{'})$ et y superpose la courbe $e = 0$ (la séparatrice).

4) Mesurer numériquement la période (durée entre deux maxima successifs de $u$ ) pour $e = - 0, 24$ , $- 0, 1$ , $- 0, 01$ , $- 0, 001$ , puis $0, 001$ et $0, 5$ . Comparer la première valeur à $2 π / 2$ . Que devient la période à l'approche de $e = 0$ , et pourquoi ? En quoi est-ce un effet du terme non linéaire ?

Corrigé

1) L'adimensionnement. La force est $- E_{p}^{'} (x) = - 4 a x^{3} + 2 b x$ , d'où $m x ¨ = 2 b x - 4 a x^{3}$ . Avec $x = x_{e} u$ et $t = τ s$ , on a $x ¨ = \frac{x _{e}}{τ ^{2}} u^{''}$ (dériver deux fois par rapport à $t$ , c'est dériver deux fois par rapport à $s$ et diviser par $τ^{2}$ ). L'équation devient $\frac{m}{τ ^{2}} u^{''} = 2 b u - 4 a x_{e}^{2} u^{3} .$ Or $\frac{m}{τ ^{2}} = 2 b$ et $4 a x_{e}^{2} = 4 a \cdot \frac{b}{2 a} = 2 b$ : en divisant par $2 b$ , $u^{''} = u - u^{3}$ . Les deux échelles ont été choisies pour cela : $x_{e}$ est la position d'un puits, $τ$ fixe l'échelle de temps. Multiplier par $u^{'}$ donne $u^{'} u^{''} - u u^{'} + u^{3} u^{'} = 0$ , c'est-à-dire $\frac{d e}{d s} = 0$ : $e$ se conserve. Et l'on vérifie que $E_{m} = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + a x^{4} - b x^{2} = \frac{b ^{2}}{a} e$ (chaque terme se calcule avec $m x_{e}^{2} / τ^{2} = 2 b x_{e}^{2} = b^{2} / a$ , $a x_{e}^{4} = b^{2} / (4 a)$ et $b x_{e}^{2} = b^{2} / (2 a)$ ) : $e$ est l'énergie mécanique mesurée dans l'unité naturelle $b^{2} / a$ .

Pourquoi on adimensionne. Le problème dépendait de $m$ , $a$ , $b$ et d'une condition initiale ; il ne dépend plus que d'un seul nombre, $e$ .

2) Les mouvements possibles. $e_{p}^{'} (u) = - u + u^{3} = u (u^{2} - 1)$ : équilibres en $u = 0$ (maximum local, $e_{p} = 0$ , instable) et en $u = \pm 1$ (minima, $e_{p} = - \frac{1}{4}$ , stables). Allure : un W, deux puits de profondeur $\frac{1}{4}$ séparés par une bosse en $0$ , remontant vers $+ \infty$ aux deux bouts.

Si $- \frac{1}{4} < e < 0$ : le point est piégé dans le puits où il a été lancé, entre deux rebroussements.
Si $e > 0$ : il oscille entre deux rebroussements symétriques en passant par-dessus la barrière.
Si $e = 0$ : c'est la séparatrice ; le point met un temps infini à atteindre le sommet $u = 0$ .

Petites oscillations. $e_{p}^{''} (u) = - 1 + 3 u^{2}$ , donc $e_{p}^{''} (\pm 1) = 2$ : la pulsation réduite est $2$ , et la période réduite $2 π / 2 \approx 4, 44$ . En unités réelles, $ω = 2 / τ = 2 b / m$ , valeur que l'on obtient aussi directement par $E_{p}^{''} (x_{e}) / m$ .

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