Le grand huit : sensations garanties

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Dans un parc d'attractions, un wagon de masse $m = 500 kg$ (passagers compris) est lâché sans vitesse initiale au sommet $A$ d'une montagne russe, à une hauteur $z_{A} = 40 m$ au-dessus du sol. La piste est supposée parfaitement lisse (frottements négligés). Le wagon dévale jusqu'au creux $B$ situé au niveau du sol ( $z_{B} = 0$ ), puis remonte une bosse $C$ de hauteur $z_{C} = 25 m$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Quelle grandeur se conserve le long du parcours, et pourquoi ? Qu'attend-on qualitativement pour la vitesse en $B$ par rapport à $C$ ?

Établir l'expression littérale de la vitesse $v_{B}$ au creux $B$ en fonction de $g$ et $z_{A}$ , puis celle de $v_{C}$ au sommet de la bosse.

Calculer numériquement $v_{B}$ et $v_{C}$ (en $m / s$ et $km / h$ ).

Quelle est la hauteur maximale $z_{m a x}$ que pourrait atteindre le wagon sur une bosse, et que se passerait-il pour une bosse plus haute ?

Corrigé

1. La piste étant sans frottement et le poids étant la seule force qui travaille (la réaction normale est perpendiculaire au mouvement, donc de travail nul), l'énergie mécanique $E_{m} = E_{c} + E_{p}^{pes}$ se conserve. Comme $B$ est plus bas que $C$ , le wagon y aura converti davantage d'énergie potentielle en énergie cinétique : on attend $v_{B} > v_{C}$ .

2. Conservation entre $A$ ( $v_{A} = 0$ ) et un point d'altitude $z$ : $\frac{1}{2} m v^{2} + m g z = m g z_{A}$ , d'où $v = 2 g (z_{A} - z)$ . En $B$ et en $C$ :

$v_{B} = 2 g z_{A} v_{C} = 2 g (z_{A} - z_{C}) .$

La masse a disparu : la vitesse ne dépend pas de la charge du wagon.

3. Applications numériques :

$v_{B} = 2 \times 9, 81 \times 40 \approx 28 m / s \approx 100 km / h,$

$v_{C} = 2 \times 9, 81 \times 15 \approx 17 m / s \approx 62 km / h .$

On a bien $v_{B} > v_{C}$ .

4. Le wagon s'arrête ( $v = 0$ ) lorsqu'il retrouve son altitude de départ : $m g z_{m a x} = m g z_{A}$ , soit $z_{m a x} = z_{A} = 40 m$ . Une bosse plus haute que $40 m$ ne pourrait jamais être franchie : le wagon s'arrêterait avant puis redescendrait.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.