Le looping : hauteur minimale et six g au point bas

Un wagonnet, assimilé à un point matériel $M$ de masse $m$, part sans vitesse d'un point $A$ d'une rampe, situé à la hauteur $h$ au-dessus du point le plus bas $B$ d'une boucle circulaire verticale de centre $C$ et de rayon $R$, qu'il parcourt par l'intérieur. On néglige tout frottement ; $g$ est uniforme. Dans la boucle, on repère $M$ par l'angle $\theta =(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CM})$, de sorte que $\theta =0$ au point bas et $\theta =\pi$ au sommet.

1) Exprimer $v^2$ en fonction de $g$, $h$, $R$ et $\theta$ tant que le wagonnet est en contact avec la piste.

2) En projetant la loi de la quantité de mouvement sur la normale, établir que la norme de la réaction de la piste vaut $$N(\theta )=mg\left(\frac{2h}{R}-2+3\cos \theta \right).$$

3) Le wagonnet décolle si la condition $N\ge 0$ cesse d'être satisfaite. En déduire la hauteur minimale $h_{\min }$ pour que le looping soit bouclé.

4) On lâche le wagonnet de $h=2R$. Montrer qu'il quitte la piste, et déterminer l'angle et l'altitude du décollage. Que fait-il ensuite ?

5) Pour $h=h_{\min }$, calculer la réaction au point bas, et la vitesse en $B$ et au sommet pour $R=10\mathrm{m}$ ($g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$). Pourquoi les loopings des montagnes russes ne sont-ils pas circulaires ?