Le potentiel de Morse : vibration et dissociation de HCl

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · E. Étude qualitative d'un mouvement conservatif à une dimension

Énoncé

Dans la molécule de chlorure d'hydrogène, on suppose l'atome de chlore fixe (il est 35 fois plus lourd que l'hydrogène) et l'on décrit l'interaction par le potentiel de Morse : l'atome d'hydrogène, de masse $m = 1, 67 \times 1 0^{- 27} kg$ , se déplace sur une droite à la distance $r$ du chlore, avec l'énergie potentielle $E_{p} (r) = D (1 - e^{- a (r - r_{e})})^{2},$ où $D = 4, 62 eV$ , $r_{e} = 127, 5 pm$ et $a = 1, 87 \times 1 0^{10} m^{- 1}$ . On donne $1 eV = 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ et $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ .

1) Étudier $E_{p}$ : valeur et nature de l'extremum, limite en $+ \infty$ , valeur en $r = 0$ . Tracer son allure. Que représentent physiquement $r_{e}$ et $D$ ?

2) Selon la valeur de l'énergie mécanique $E_{m}$ , décrire le mouvement : état lié ou état de diffusion. Que signifie chimiquement chacun des deux cas ?

3) Pour $0 < E_{m} < D$ , déterminer les points de rebroussement $r_{1} < r_{2}$ . Les calculer pour $E_{m} = 0, 1 D$ et $E_{m} = 0, 5 D$ . Le puits est-il symétrique ? Comment évolue le milieu du segment $[r_{1}, r_{2}]$ quand l'énergie augmente, et quelle propriété macroscopique des solides cela explique-t-il ? Relier à $E_{p}^{'''} (r_{e})$ .

4) Dans l'approximation du puits harmonique, calculer la raideur $k$ de la liaison, la pulsation $ω$ des petites oscillations, puis le nombre d'onde $σ = \frac{1}{λ} = \frac{ω}{2 π c}$ du rayonnement de même fréquence. Dans quel domaine se trouve-t-il ? La bande d'absorption mesurée de HCl est à $2886 c m^{- 1}$ : commenter l'écart.

Corrigé

1) L'allure. $E_{p}$ est un carré, donc positive, et nulle si et seulement si $e^{- a (r - r_{e})} = 1$ , c'est-à-dire en $r = r_{e}$ : minimum absolu en $r_{e}$ , de valeur $0$ . Quand $r \to + \infty$ , $e^{- a (r - r_{e})} \to 0$ et $E_{p} \to D$ . En $r = 0$ , $E_{p} (0) = D (1 - e^{a r_{e}})^{2}$ ; avec $a r_{e} \approx 2, 38$ , $e^{a r_{e}} \approx 10, 8$ , d'où $E_{p} (0) \approx 97 D$ : une paroi très raide. Allure : une paroi raide à gauche, un minimum en $r_{e}$ , puis une remontée de plus en plus douce vers le palier $D$ .

Interprétation. La force $F = - E_{p}^{'} (r)$ est répulsive pour $r < r_{e}$ et attractive pour $r > r_{e}$ : $r_{e}$ est la longueur de la liaison à l'équilibre. $D$ est la profondeur du puits mesurée depuis le palier : c'est l'énergie qu'il faut fournir à la molécule au repos pour séparer ses atomes, l'énergie de dissociation (ici, l'énergie de la liaison H–Cl).

2) États liés et états de diffusion. Le mouvement n'est possible que là où $E_{p} (r) \leq E_{m}$ . Si $0 < E_{m} < D$ , la droite d'ordonnée $E_{m}$ coupe la courbe en deux points $r_{1} < r_{e} < r_{2}$ : le mouvement est borné et périodique, c'est un état lié — la molécule existe et vibre. Si $E_{m} > D$ , il n'y a qu'un point de rebroussement, à gauche : l'hydrogène part à l'infini, c'est un état de diffusion — la molécule est dissociée.

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