Le saut à l'élastique : jusqu'où va-t-on tomber ?

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Du haut d'un pont, un sauteur de masse $m = 70 kg$ s'élance attaché à un élastique de longueur à vide $ℓ_{0} = 15 m$ et de raideur $k = 80 N / m$ . On repère sa chute par la distance $z$ parcourue vers le bas depuis le point de saut. Tant que $z < ℓ_{0}$ , seul le poids agit ; au-delà, l'élastique se tend d'un allongement $x = z - ℓ_{0}$ . On néglige l'air ; $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Décrire les échanges d'énergie pendant la chute, puis pendant la phase où l'élastique est tendu. Où la vitesse est-elle maximale ? nulle ?

Établir l'expression de la vitesse $v_{1}$ au moment où l'élastique commence à se tendre ( $z = ℓ_{0}$ ). Calculer $v_{1}$ .

Par conservation de l'énergie entre le départ et le point le plus bas $H$ (vitesse nulle), établir l'équation vérifiée par l'allongement maximal $x_{m}$ .

Résoudre numériquement pour trouver $x_{m}$ , puis la profondeur totale $H = ℓ_{0} + x_{m}$ . Le pont fait $55 m$ : le saut est-il sûr ?

Corrigé

1. Tant que $z < ℓ_{0}$ , c'est une chute libre : l'énergie potentielle de pesanteur devient énergie cinétique, la vitesse augmente. Quand l'élastique se tend, il emmagasine de l'énergie potentielle élastique $\frac{1}{2} k x^{2}$ qui freine le sauteur. La vitesse est maximale là où poids et tension se compensent (un peu après le début de la tension) ; elle est nulle au point le plus bas $H$ .

2. Entre le départ ( $v = 0$ ) et $z = ℓ_{0}$ (chute libre), $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g ℓ_{0}$ :

$v_{1} = 2 g ℓ_{0} = 2 \times 9, 81 \times 15 \approx 17 m / s \approx 62 km / h .$

3. Au point bas, le sauteur a chuté de $H = ℓ_{0} + x_{m}$ avec $v = 0$ au départ comme à l'arrivée. La perte d'énergie potentielle de pesanteur est intégralement stockée dans l'élastique :

$m g (ℓ_{0} + x_{m}) = \frac{1}{2} k x_{m}^{2} ⟹ \frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g x_{m} - m g ℓ_{0} = 0 .$

4. Avec $\frac{1}{2} k = 40$ , $m g = 70 \times 9, 81 \approx 687 N$ et $m g ℓ_{0} \approx 10300 J$ :

$40 x_{m}^{2} - 687 x_{m} - 10300 = 0.$

Le discriminant vaut $Δ = 68 7^{2} + 4 \times 40 \times 10300 \approx 2, 12 \times 1 0^{6}$ , soit $Δ \approx 1456$ . La racine positive est

$x_{m} = \frac{687 + 1456}{80} \approx 27 m .$

La profondeur totale de chute est donc $H = ℓ_{0} + x_{m} \approx 15 + 27 = 42 m$ . Comme $H \approx 42 m < 55 m$ , le sauteur s'arrête à $13 m$ du sol : la marge est correcte, mais doit être vérifiée à chaque saut (d'où la pesée systématique).

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