Le saut à l'élastique

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · D. Énergie mécanique

Énoncé

Du haut d'un pont de $55 m$ , un sauteur de masse $m = 70 kg$ se laisse tomber sans vitesse initiale, attaché à un élastique de longueur à vide $ℓ_{0} = 15 m$ , modélisé par un ressort de raideur $k = 80 N m^{- 1}$ qui n'agit que lorsqu'il est tendu. On repère le sauteur, assimilé à un point, par la distance $z$ parcourue vers le bas depuis le point de saut. On néglige l'air et la masse de l'élastique ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

1) Exprimer l'énergie potentielle $E_{p} (z)$ du sauteur pour $z \leq ℓ_{0}$ et pour $z \geq ℓ_{0}$ , avec $E_{p} (0) = 0$ . Tracer son allure et déterminer la position d'équilibre $z_{e}$ .

2) Déterminer l'allongement maximal $x_{m}$ et la profondeur atteinte $H = ℓ_{0} + x_{m}$ . Le saut est-il sûr ?

3) Où la vitesse est-elle maximale ? La calculer.

4) Calculer l'accélération au point le plus bas, en nombre de $g$ , et la tension maximale de l'élastique.

5) Quelle est la masse maximale admissible pour que le sauteur ne touche pas l'eau ? Commenter.

Corrigé

La stratégie. Le mouvement est conservatif et à une dimension : tout se lit sur le graphe d'une énergie potentielle, définie par morceaux parce que l'élastique ne pousse pas quand il est détendu.

1) L'énergie potentielle. L'axe est descendant : le poids $m g$ est dirigé dans le sens des $z$ croissants, son énergie potentielle est $- m g z$ (elle décroît quand on descend). L'élastique ne travaille que s'il est tendu, c'est-à-dire pour $z \geq ℓ_{0}$ , avec un allongement $x = z - ℓ_{0}$ . Donc $E_{p} (z) = {- m g z - m g z + \frac{1}{2} k (z - ℓ_{0})^{2} si 0 \leq z \leq ℓ_{0}, si z \geq ℓ_{0} .$ Les deux expressions coïncident en $z = ℓ_{0}$ : $E_{p}$ est continue, et même dérivable (le terme élastique a une dérivée nulle en $ℓ_{0}$ ). L'allure : une droite décroissante jusqu'à $ℓ_{0}$ , prolongée par une parabole tournée vers le haut, dont le minimum est atteint où $E_{p}^{'} (z) = - m g + k (z - ℓ_{0}) = 0$ , soit $z_{e} = ℓ_{0} + \frac{m g}{k} = 15 + 8, 58 \approx 23, 6 m .$ C'est la position d'équilibre, stable ( $E_{p}^{''} = k > 0$ ) : celle où le sauteur finira par pendre, une fois les oscillations amorties.

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