Le skateur dans le half-pipe

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Théo s'élance dans un half-pipe. On modélise son énergie potentielle par $E_{p} (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ avec $k = 1000 J / m^{2}$ , $x$ (en mètres) repérant sa position horizontale par rapport au fond. Lâché sans vitesse depuis $x_{0} = 2, 0 m$ , son énergie mécanique vaut $E_{m} = 2000 J$ (graphe ci-dessous). Frottements négligés.

Sur le graphe, $E_{c} (x) = E_{m} - E_{p} (x)$ . Déterminer la zone des positions accessibles.

Calculer les abscisses des points de rebroussement (vitesse nulle).

Identifier la position d'équilibre stable et justifier sa stabilité.

Le mouvement est-il borné ? Quelle est sa nature ?

Corrigé

1. La vitesse étant réelle, $E_{c} (x) = E_{m} - E_{p} (x) \geq 0$ , soit $E_{p} (x) \leq E_{m}$ : le skateur n'occupe que les positions où la courbe passe sous le niveau $E_{m}$ , c'est-à-dire $- x_{0} \leq x \leq x_{0}$ .

2. Points de rebroussement : $E_{p} (x) = E_{m}$ , soit $\frac{1}{2} k x^{2} = E_{m}$ , d'où

$x = \pm \frac{2 E _{m}}{k} = \pm \frac{2 \times 2000}{1000} = \pm 2, 0 m .$

On retrouve le point de lâcher et son symétrique.

3. L'équilibre est au minimum de $E_{p}$ : $E_{p}^{'} (x) = k x = 0$ donne $x = 0$ ; comme $E_{p}^{''} (0) = k > 0$ , c'est un minimum, donc un équilibre stable (écarté du fond, le skateur est ramené vers $x = 0$ ).

4. La zone accessible $[- x_{0}, x_{0}]$ est finie : le mouvement est borné. Le skateur oscille indéfiniment entre les deux points de rebroussement en passant par le fond (vitesse maximale) : mouvement périodique.

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