Le travail dépend-il du chemin ?

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · A. Puissance et travail d'une force

Énoncé

Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O, e_{x}, e_{y})$ , on considère, pour une constante $α > 0$ , les deux champs de force $F_{1} = α (y e_{x} + x e_{y}), F_{2} = α (y e_{x} - x e_{y}) .$ On note $A (a, a)$ , $B (a, 0)$ et $C (0, a)$ , avec $a > 0$ .

1) Calculer le travail de $F_{1}$ , puis celui de $F_{2}$ , de $O$ à $A$ , le long de trois chemins : le segment $[O A]$ ; la ligne brisée $O \to B \to A$ ; la ligne brisée $O \to C \to A$ .

2) Montrer que $δ W_{1} = F_{1} \cdot d O M$ est la différentielle d'une fonction de $(x, y)$ ; en déduire une énergie potentielle $E_{p 1} (x, y)$ et vérifier que $F_{1} = - grad E_{p 1}$ , où $grad f = \frac{\partial f}{\partial x} e_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} e_{y}$ .

3) Exprimer $F_{2}$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ . Calculer son travail sur le cercle de centre $O$ et de rayon $a$ , parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Pourquoi ce seul résultat suffit-il à prouver que $F_{2}$ ne dérive d'aucune énergie potentielle ?

4) Un palet glisse sur une table horizontale de $O$ à $A$ en subissant un frottement de norme constante $f$ , opposé à sa vitesse. Comparer les travaux du frottement le long de $[O A]$ et le long de $O \to B \to A$ . Quel est le signe de la puissance du frottement ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. $δ W = F \cdot d O M$ , avec $d O M = d x e_{x} + d y e_{y}$ ou $d r e_{r} + r d θ e_{θ}$ ; on paramètre chaque morceau de chemin : sur un segment parallèle à un axe, une coordonnée est constante et son différentiel est nul.

1) Les trois chemins. On a $δ W_{1} = α (y d x + x d y)$ et $δ W_{2} = α (y d x - x d y)$ .

Le segment $[O A]$ . On le paramètre par $x = y = t$ , $t$ allant de $0$ à $a$ : $d x = d y = d t$ . Alors $δ W_{1} = 2 α t d t$ , d'où $W_{1} = α a^{2}$ ; et $δ W_{2} = α (t - t) d t = 0$ , d'où $W_{2} = 0$ .

Le chemin $O \to B \to A$ . Sur $[O B]$ , $y = 0$ et $d y = 0$ : les deux travaux élémentaires sont nuls. Sur $[B A]$ , $x = a$ et $d x = 0$ : $δ W_{1} = α a d y$ et $δ W_{2} = - α a d y$ , avec $y$ de $0$ à $a$ . Donc $W_{1} = α a^{2}$ et $W_{2} = - α a^{2}$ .

Le chemin $O \to C \to A$ . Sur $[O C]$ , $x = 0$ et $d x = 0$ : travaux nuls. Sur $[C A]$ , $y = a$ et $d y = 0$ : $δ W_{1} = δ W_{2} = α a d x$ , $x$ de $0$ à $a$ . Donc $W_{1} = α a^{2}$ et $W_{2} = + α a^{2}$ .

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