Le tremplin de saut à ski

Application directe du cours · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Un sauteur à ski s'élance, immobile, du sommet d'une rampe d'élan. Il descend une dénivelée $h = 60 m$ jusqu'à la table de décollage. La piste glisse bien mais pas parfaitement : les frottements dissipent $9, 0 kJ$ , autrement dit leur travail vaut $W_{f} = - 9, 0 kJ$ . Le système \{skieur + skis\} a une masse $m = 70 kg$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Établir le bilan d'énergie mécanique entre le départ et le décollage : exprimer \Delta\Em en fonction de $W_{f}$ .
En déduire la vitesse $v$ au décollage. La comparer à la vitesse $v_{0}$ d'un skieur idéal sans frottement.
Quelle fraction de l'énergie potentielle de départ a été dissipée ?
Si la rampe était deux fois plus haute (mêmes frottements relatifs), par quel facteur $v$ serait-elle multipliée ? Commenter.

Corrigé

1. À cause des frottements, \Em n'est pas conservée. Le théorème de l'énergie mécanique donne \boxed{\Delta\Em=W_f<0}.

2. Au départ \Ec=0, \Ep=mgh ; au décollage \Ep=0, \Ec=\tfrac12 mv^2. Donc $\frac{1}{2} m v^{2} - m g h = W_{f}$ , soit

$v = 2 g h + \frac{2 W _{f}}{m} = 2 (9, 81) (60) + \frac{2 ( - 9000 )}{70} \approx 1177 - 257 \approx 30 m / s .$

Sans frottement, $v_{0} = 2 g h \approx 34 m / s$ : les frottements coûtent environ $4 m / s$ .

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