Le tremplin de saut à ski : voler grâce à l'énergie

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Un sauteur à ski s'élance, immobile, du sommet d'une rampe d'élan. Il descend une dénivelée $h = 60 m$ jusqu'à la table de décollage. La piste glisse bien mais pas parfaitement : les frottements dissipent une énergie $W_{f} = - 9, 0 kJ$ . Le système \{skieur + skis\} a une masse $m = 70 kg$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Établir le bilan d'énergie mécanique entre le départ et le décollage : exprimer $Δ E_{m}$ en fonction de $W_{f}$ .

En déduire la vitesse $v$ au décollage. La comparer à la vitesse $v_{0}$ d'un skieur idéal sans frottement.

Quelle fraction de l'énergie potentielle de départ a été dissipée ?

Si la rampe était deux fois plus haute (mêmes frottements relatifs), par quel facteur $v$ serait-elle multipliée ? Commenter.

Corrigé

1. À cause des frottements, $E_{m}$ n'est pas conservée. Le théorème de l'énergie mécanique donne $Δ E_{m} = W_{f} < 0$ .

2. Au départ $E_{c} = 0$ , $E_{p} = m g h$ ; au décollage $E_{p} = 0$ , $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Donc $\frac{1}{2} m v^{2} - m g h = W_{f}$ , soit

$v = 2 g h + \frac{2 W _{f}}{m} = 2 (9, 81) (60) + \frac{2 ( - 9000 )}{70} \approx 1177 - 257 \approx 30 m / s .$

Sans frottement, $v_{0} = 2 g h \approx 34 m / s$ : les frottements coûtent environ $4 m / s$ .

3. Énergie potentielle de départ : $m g h = 70 \times 9, 81 \times 60 \approx 41 kJ$ . Fraction dissipée : $\frac{9 , 0}{41} \approx 0, 22$ (22 %).

4. Sans frottement $v_{0} = 2 g h$ : doubler $h$ multiplie $v_{0}$ par $2 \approx 1, 4$ (et non par 2). Gagner de la hauteur est utile mais à rendement décroissant.

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