Problème — La période du pendule : formule de Borda

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · E. Étude qualitative d'un mouvement conservatif à une dimension

Énoncé

Un point matériel $M$ de masse $m$ est suspendu à un point fixe $O$ par un fil inextensible de longueur $ℓ$ et de masse négligeable, qui reste tendu. Il se déplace dans un plan vertical ; on repère sa position par l'angle $θ$ entre la verticale descendante et $O M$ . On néglige tout frottement et l'on pose $ω_{0} = g / ℓ$ et $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ .

1) Montrer que l'énergie mécanique $E_{m} = \frac{1}{2} m ℓ^{2} θ ˙^{2} + m g ℓ (1 - cos θ)$ se conserve (l'origine de l'énergie potentielle est prise au point le plus bas), et retrouver l'équation $θ ¨ + ω_{0}^{2} sin θ = 0$ en la dérivant.

2) Tracer $E_{p} (θ)$ sur $] - π, π]$ . Positions d'équilibre, stabilité, puits harmonique. Selon la valeur de $E_{m}$ , décrire le mouvement (oscillation ou révolution). Que se passe-t-il pour $E_{m} = 2 m g ℓ$ ?

3) Le pendule est lâché sans vitesse depuis l'angle $θ_{0} \in] 0, π [$ . Établir l'intégrale première $θ ˙^{2} = 2 ω_{0}^{2} (cos θ - cos θ_{0})$ , puis la période $T = \frac{4}{ω _{0}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{d θ}{2 ( cos θ - cos θ _{0} )},$ en justifiant le facteur $4$ par des arguments de symétrie.

4) On pose $k = sin (θ_{0} /2)$ et l'on effectue le changement de variable $sin (θ /2) = k sin φ$ , avec $φ \in [0, π /2]$ . Établir $T = \frac{4}{ω _{0}} \int_{0}^{π /2} \frac{d φ}{1 - k ^{2} sin ^{2} φ} .$ Vérifier que $T \to T_{0}$ quand $θ_{0} \to 0$ .

5) À l'aide du développement $(1 + x)^{- 1/2} = 1 - \frac{1}{2} x + O (x^{2})$ , établir la formule de Borda : $T ≃ T_{0} (1 + \frac{θ _{0}^{2}}{16})$ pour les petites amplitudes.

6) Ordres de grandeur. Le calcul numérique de l'intégrale du 4) donne $T / T_{0} = 1, 0019$ ; $1, 0174$ ; $1, 1803$ pour $θ_{0} = 1 0^{\circ}$ ; $3 0^{\circ}$ ; $9 0^{\circ}$ . Comparer à la formule de Borda. Une horloge à balancier, réglée pour battre juste avec une amplitude de $5^{\circ}$ , voit son amplitude tomber à $4^{\circ}$ quand son ressort se détend. Avance-t-elle ou retarde-t-elle, et de combien de secondes par jour ?

Corrigé

1) L'énergie mécanique. Système et forces. Le point $M$ , dans le référentiel terrestre galiléen, est soumis à son poids et à la tension du fil. Le mouvement est circulaire de rayon $ℓ$ : la vitesse vaut $ℓ θ ˙ e_{θ}$ , et la tension, dirigée selon le fil, est perpendiculaire à la vitesse : elle ne travaille pas. Le poids est conservatif, d'énergie potentielle $m g z$ avec $z$ l'altitude au-dessus du point le plus bas, soit $z = ℓ (1 - cos θ)$ . Le mouvement est donc conservatif, et $E_{m} = \frac{1}{2} m ℓ^{2} θ ˙^{2} + m g ℓ (1 - cos θ) = cte .$ L'équation du mouvement. En dérivant par rapport au temps : $m ℓ^{2} θ ˙ θ ¨ + m g ℓ sin θ θ ˙ = 0$ , soit $m ℓ^{2} θ ˙ (θ ¨ + ω_{0}^{2} sin θ) = 0$ . Le facteur $θ ˙$ ne s'annule qu'en des instants isolés (les rebroussements) ; par continuité, $θ ¨ + ω_{0}^{2} sin θ = 0$ à chaque instant. L'énergie retrouve l'équation du chapitre précédent sans se soucier de la tension.

2) Le graphe de l'énergie potentielle. $E_{p} (θ) = m g ℓ (1 - cos θ)$ vaut $0$ en $θ = 0$ et atteint son maximum $2 m g ℓ$ en $θ = π$ . Équilibres : $E_{p}^{'} (θ) = m g ℓ sin θ = 0$ , en $θ = 0$ (minimum, $E_{p}^{''} (0) = m g ℓ > 0$ : stable, le pendule pend) et en $θ = π$ (maximum, $E_{p}^{''} (π) = - m g ℓ < 0$ : instable, le pendule à l'envers). Le puits harmonique. Près de $0$ , $E_{p} ≃ \frac{1}{2} m g ℓ θ^{2}$ ; comme l'énergie cinétique s'écrit $\frac{1}{2} (m ℓ^{2}) θ ˙^{2}$ , le rôle de la « masse » est joué par $m ℓ^{2}$ , et la pulsation des petites oscillations est $m g ℓ / (m ℓ^{2}) = g / ℓ = ω_{0}$ .

Selon $E_{m}$ . Si $0 < E_{m} < 2 m g ℓ$ , la droite d'ordonnée $E_{m}$ coupe le graphe en deux angles opposés $\pm θ_{0}$ : le pendule oscille entre eux. Si $E_{m} > 2 m g ℓ$ , elle passe au-dessus du maximum : $θ ˙$ ne s'annule jamais, le pendule fait des tours complets dans le même sens, c'est un mouvement de révolution. Le cas $E_{m} = 2 m g ℓ$ est la séparatrice : le pendule s'approche indéfiniment de la position renversée sans jamais l'atteindre en un temps fini.

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