Une perle, un ressort oblique : la bifurcation

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · E. Étude qualitative d'un mouvement conservatif à une dimension

Énoncé

Une perle de masse $m$ coulisse sans frottement sur une tige rectiligne horizontale fixe, confondue avec l'axe $O x$ . Elle est attachée à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $ℓ_{0}$ , dont l'autre extrémité est fixée en un point $A$ situé à la verticale du point $O$ , à la distance $d$ de la tige. On pose $ω_{0} = k / m$ et l'on repère la perle par son abscisse $x$ .

1) Exprimer l'énergie potentielle $E_{p} (x)$ de la perle. On justifiera que le poids et la réaction de la tige n'y contribuent pas.

2) Déterminer les positions d'équilibre et leur stabilité. On distinguera $d > ℓ_{0}$ et $d < ℓ_{0}$ .

3) Décrire l'allure de $E_{p} (x)$ dans chacun des deux cas, puis celle des abscisses d'équilibre en fonction de $d$ (équilibres stables en trait plein, instables en pointillés). Pourquoi parle-t-on de bifurcation « en fourche » ?

4) Établir l'équation des petits mouvements au voisinage de chaque équilibre stable, et montrer que leurs pulsations valent $ω_{0} 1 - ℓ_{0} / d$ si $d > ℓ_{0}$ et $ω_{0} 1 - d^{2} / ℓ_{0}^{2}$ si $d < ℓ_{0}$ . Que deviennent-elles quand $d \to ℓ_{0}$ ?

5) Le seuil $d = ℓ_{0}$ . Montrer que $E_{p} (x) ≃ \frac{k x ^{4}}{8 ℓ _{0}^{2}}$ au voisinage de $0$ . L'approximation du puits harmonique est-elle encore possible ? Par analyse dimensionnelle, montrer que la période des petites oscillations d'amplitude $X$ est inversement proportionnelle à $X$ .

Corrigé

1) L'énergie potentielle. Le poids est vertical et la perle se déplace horizontalement : il est perpendiculaire à la vitesse et ne travaille pas. La réaction de la tige, sans frottement, est perpendiculaire à la tige : elle ne travaille pas non plus. Seule la tension du ressort travaille, et elle dérive de $\frac{1}{2} k (ℓ - ℓ_{0})^{2}$ , où $ℓ = A M = x^{2} + d^{2}$ est la longueur du ressort. Donc $E_{p} (x) = \frac{1}{2} k (x^{2} + d^{2} - ℓ_{0})^{2} .$

2) Les équilibres. On dérive : $E_{p}^{'} (x) = k (x^{2} + d^{2} - ℓ_{0}) \frac{x}{x ^{2} + d ^{2}} = k x (1 - \frac{ℓ _{0}}{x ^{2} + d ^{2}})$ . Elle s'annule si $x = 0$ , ou si $x^{2} + d^{2} = ℓ_{0}$ , c'est-à-dire $x^{2} = ℓ_{0}^{2} - d^{2}$ , ce qui n'a de solution que si $d \leq ℓ_{0}$ . La dérivée seconde, calculée à partir de l'expression précédente, est $E_{p}^{''} (x) = k (1 - \frac{ℓ _{0}}{x ^{2} + d ^{2}}) + \frac{k ℓ _{0} x ^{2}}{( x ^{2} + d ^{2} ) ^{3/2}} .$ En $x = 0$ : $E_{p}^{''} (0) = k (1 - \frac{ℓ _{0}}{d})$ .

Si $d > ℓ_{0}$ , $x = 0$ est le seul équilibre, et il est stable ( $E_{p}^{''} (0) > 0$ ). Le ressort, toujours tendu, ramène la perle à l'aplomb de $A$ .

Si $d < ℓ_{0}$ , $x = 0$ est instable ( $E_{p}^{''} (0) < 0$ ) : à l'aplomb de $A$ , le ressort est comprimé et repousse la perle dès qu'elle s'écarte. Deux nouveaux équilibres apparaissent en $x_{\pm} = \pm ℓ_{0}^{2} - d^{2}$ , où le ressort a exactement sa longueur à vide ; on y a $E_{p}^{''} (x_{\pm}) = 0 + \frac{k ℓ _{0} ( ℓ _{0}^{2} - d ^{2} )}{ℓ _{0}^{3}} = k (1 - \frac{d ^{2}}{ℓ _{0}^{2}}) > 0$ : ils sont stables.

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