Durée du régime transitoire selon $Q$

Un oscillateur amorti obéit à $\ddot{x}+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$. On appelle durée caractéristique $\tau$ du régime transitoire l'inverse de la plus petite valeur absolue des parties réelles des racines de l'équation caractéristique (pour le régime critique, on prend $\tau =1/{\omega }_0$).

1) Exprimer $\tau {\omega }_0$ en fonction de $Q$ dans les trois régimes.

2) Montrer que $\tau \simeq \frac{2Q}{{\omega }_0}$ si $Q\gg 1$, et que $\tau \simeq \frac{1}{Q{\omega }_0}=\frac{h}{k}$ si $Q\ll 1$. Interpréter ce second résultat : que devient l'équation du mouvement quand l'inertie est négligeable ?

3) Calculer $\tau {\omega }_0$ pour $Q=0,05$ ; $0,2$ ; $0,5$ ; $2$ ; $10$. Tracer l'allure de $\tau {\omega }_0$ en fonction de $Q$. Pour quelle valeur la durée est-elle minimale ?

4) Application : le tiroir à fermeture amortie. Un tiroir de masse $m=2,0\mathrm{kg}$ est ramené vers sa position fermée par un ressort de raideur $k=50\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, et freiné par un amortisseur de coefficient $h=300\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$. Calculer ${\omega }_0$, $Q$, les racines et $\tau$. Est-ce un bon réglage ? Quelle valeur de $h$ proposer ?