Frottement solide ou fluide ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques · B. L'oscillateur amorti par frottement visqueux

Énoncé

Un palet de masse $m = 0, 50 kg$ , accroché à un ressort horizontal de raideur $k = 20 N m^{- 1}$ , glisse sur une table. Le contact exerce une force de frottement de norme constante $f = 0, 10 N$ , opposée à la vitesse tant que le palet glisse (loi donnée, modèle simplifié du frottement solide). On admet que le palet, s'il s'arrête en une position où $k ∣ x ∣ \leq f$ , y reste immobile ; sinon, il repart. On le lâche sans vitesse depuis $x_{0} = 10, 3 cm$ ( $x$ est l'allongement du ressort).

1) Pendant une phase où la vitesse garde un signe constant, écrire l'équation du mouvement et montrer qu'il s'agit d'un demi-cycle harmonique de pulsation $ω_{0} = k / m$ autour d'un centre décalé, que l'on précisera.

2) Par un bilan d'énergie entre deux arrêts successifs d'abscisses $x_{n}$ et $x_{n + 1}$ (de signes opposés), montrer que $∣ x_{n} ∣ - ∣ x_{n + 1} ∣ = \frac{2 f}{k}$ . Retrouver ce résultat avec la question 1.

3) Calculer les élongations successives, le nombre de demi-oscillations, la durée totale du mouvement et la position finale.

4) Le même palet est maintenant freiné par un frottement visqueux $- h x ˙$ faible. Comment décroissent les élongations successives ? Le mouvement s'arrête-t-il en un temps fini ?

5) On dispose du relevé des maxima successifs d'un oscillateur dont on ignore le type de frottement. Quels graphes tracer pour trancher ?

Corrigé

1) Un demi-cycle harmonique décalé. Tant que $x ˙ < 0$ (le palet revient de $x_{0} > 0$ ), le frottement est dirigé vers les $x$ croissants : $m x ¨ = - k x + f$ , soit $m x ¨ = - k (x - \frac{f}{k})$ . C'est un oscillateur harmonique de pulsation $ω_{0} = k / m$ centré en $x_{c} = + f / k$ . Tant que $x ˙ > 0$ , le centre est en $- f / k$ . Le mouvement est une succession de demi-oscillations harmoniques, chacune d'une durée $T_{0} /2 = π / ω_{0}$ , autour de centres alternés. Une demi-oscillation harmonique partie du repos en $x_{n}$ s'arrête au symétrique de $x_{n}$ par rapport au centre : de $x_{0}$ , autour de $f / k$ , on arrive en $\frac{2 f}{k} - x_{0}$ .

2) Le bilan d'énergie. Entre deux arrêts, l'énergie cinétique est nulle au départ et à l'arrivée ; l'énergie mécanique se réduit à $\frac{1}{2} k x^{2}$ . Le frottement, de norme constante et opposé au mouvement, travaille de $- f$ fois la distance parcourue, $∣ x_{n} ∣ + ∣ x_{n + 1} ∣$ . Le théorème de l'énergie mécanique donne $\frac{1}{2} k x_{n + 1}^{2} - \frac{1}{2} k x_{n}^{2} = - f (∣ x_{n} ∣ + ∣ x_{n + 1} ∣) .$ On factorise le membre de gauche, $\frac{1}{2} k (∣ x_{n + 1} ∣ - ∣ x_{n} ∣) (∣ x_{n + 1} ∣ + ∣ x_{n} ∣)$ , et l'on simplifie par $∣ x_{n} ∣ + ∣ x_{n + 1} ∣ > 0$ : $∣ x_{n} ∣ - ∣ x_{n + 1} ∣ = \frac{2 f}{k} .$ On retrouve le résultat du 1) : la symétrie par rapport au centre $\pm f / k$ fait perdre $2 f / k$ à chaque demi-oscillation.

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