L'amortisseur de masse accordée du gratte-ciel

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

Au sommet de la tour Taipei 101 ( $508 m$ ) est suspendue une sphère d'acier de $660 t$ , retenue par de longs câbles. Quand le vent fait osciller le bâtiment, ce gigantesque pendule oscille en opposition et absorbe l'énergie : c'est un amortisseur de masse accordée. La tour, modélisée par un oscillateur, a une période propre $T_{b} \approx 7, 0 s$ .

Donner la fréquence propre $f_{b}$ du bâtiment.

En modélisant la masse par un pendule simple de longueur $ℓ$ , exprimer sa fréquence propre $f_{0}$ . Quelle est la condition d'accord ?

En déduire la longueur de câble $ℓ$ . Compatible avec une suspension sur quelques étages ?

Pourquoi un pendule accordé sur la fréquence du bâtiment réduit-il l'amplitude de celui-ci ?

Corrigé

1. $f_{b} = \frac{1}{T _{b}} = \frac{1}{7 , 0 s} \approx 0, 14 Hz$ .

2. Pour un pendule simple, $T_{0} = 2 π ℓ / g$ , d'où $f_{0} = \frac{1}{2 π} \frac{g}{ℓ}$ . L'accord consiste à régler $ℓ$ pour que $f_{0} = f_{b}$ .

3. $f_{0} = f_{b}$ équivaut à $T_{0} = T_{b}$ , soit $ℓ = g (\frac{T _{b}}{2 π})^{2} = 9, 81 \times (\frac{7 , 0}{2 π})^{2} \approx 12 m$ . Une douzaine de mètres correspond bien à une suspension sur quelques étages — c'est l'ordre de grandeur réel de la tour Taipei 101.

4. Accordé sur la fréquence du bâtiment, le pendule oscille en opposition de phase ( $\approx 180^{\circ}$ ) : la force qu'il exerce sur la structure s'oppose à son mouvement et lui prélève son énergie, ensuite dissipée. L'amplitude des oscillations du bâtiment s'en trouve fortement réduite.

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