La balançoire qu'on pousse au bon moment

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

Un enfant sur une balançoire (cordes de longueur $ℓ = 2, 5 m$ ) oscille comme un pendule simple. Un parent veut amplifier le mouvement sans forcer : en poussant légèrement à chaque passage, l'amplitude croît énormément. C'est la résonance.

Calculer la période propre $T_{0}$ et la fréquence propre $f_{0}$ ( $g = 9, 81 m / s^{2}$ ).

À quelle fréquence le parent doit-il pousser pour amplifier au maximum ? Pourquoi pousser « au bon moment » est-il essentiel ?

Expliquer énergétiquement le « pompage ».

Si le parent poussait à $f = 2 f_{0}$ , que se passerait-il en moyenne sur l'énergie ?

Corrigé

1. $T_{0} = 2 π ℓ / g = 2 π 2, 5/9, 81 \approx 3, 2 s$ , d'où $f_{0} = 1/ T_{0} \approx 0, 32 Hz$ .

2. L'amplitude d'un oscillateur forcé est maximale quand la fréquence d'excitation égale (à peu près) la fréquence propre (résonance). Le parent doit pousser à $f \approx f_{0} \approx 0, 32 Hz$ , soit une poussée par période, quand l'enfant s'éloigne (force et vitesse de même sens).

3. Le travail élémentaire de la poussée est $d W = F \cdot v d t$ . Si $F$ est dans le sens de $v$ , $d W > 0$ : à chaque période le parent injecte de l'énergie, qui s'accumule cycle après cycle (le « pompage »), jusqu'à compenser les pertes par frottement.

4. À $f = 2 f_{0}$ , sur une période propre la poussée est tantôt dans le sens de $v$ , tantôt opposée : $F \cdot v$ change de signe et $⟨ d W ⟩ \approx 0$ . L'énergie n'est pas transmise, l'amplitude ne croît pas.

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