La passerelle qui se balance et le pas des soldats

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

En l'an 2000, le jour de son inauguration, la passerelle du Millennium à Londres se mit à osciller latéralement sous les pas de la foule. Modélisons un piéton comme une excitation périodique à la fréquence des pas $f_{pas}$ , appliquée à une passerelle assimilée à un oscillateur de fréquence propre $f_{0} = 0, 5 Hz$ et de facteur de qualité $Q = 20$ .

Qualitativement, pourquoi l'amplitude devient-elle dangereuse quand $f_{pas}$ approche $f_{0}$ ?

À la résonance, l'amplitude est environ $Q$ fois celle d'une excitation lente. De combien la marche d'un piéton à $f_{pas} = f_{0}$ amplifie-t-elle le mouvement ?

Une marche normale se fait à environ $2$ pas par seconde. Pourquoi est-ce le balancement latéral (et non vertical) qui est entré en résonance ? (À chaque cycle gauche-droite, la poussée latérale se répète à quelle fréquence ?)

Pourquoi l'ordre « rompez le pas ! » sur un pont supprime-t-il le risque de résonance ?

Corrigé

1. Loin de $f_{0}$ , les poussées des pas sont déphasées par rapport au mouvement et se compensent en moyenne. Quand $f_{pas} \to f_{0}$ , chaque poussée arrive en phase avec le mouvement et lui ajoute de l'énergie à chaque cycle : l'amplitude croît fortement, limitée seulement par l'amortissement.

2. À la résonance, l'amplification par rapport à une sollicitation très lente est de l'ordre du facteur de qualité :

$\frac{A ( ω _{0} )}{A ( 0 )} \approx Q = 20 .$

Un piéton calant ses pas sur le balancement déplace donc la passerelle environ $20$ fois plus qu'une poussée statique équivalente.

3. À $2$ pas/s, le mouvement vertical se répète à $2 Hz$ , loin de $f_{0} = 0, 5 Hz$ : pas de résonance verticale. Mais latéralement, le corps bascule à droite au pas droit puis à gauche au pas gauche : le cycle latéral complet ne se referme qu'après deux pas, donc à $f_{lat} = 1 Hz$ , bien plus proche de $f_{0}$ . C'est ce mode latéral qui est entré en résonance.

4. Une troupe au pas cadencé concentre son énergie sur une fréquence unique ; si elle coïncide avec $f_{0}$ , l'amplification $\times Q$ peut endommager la structure. « Rompre le pas » étale les contributions sur des fréquences et des phases aléatoires : elles ne s'additionnent plus de façon cohérente, le pic de résonance n'est plus alimenté.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.