La suspension de ta voiture : ni trop molle, ni trop dure

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

Une roue de voiture, avec sa masse suspendue $m = 300 kg$ , repose sur un ressort de raideur $k = 30000 N / m$ . Un amortisseur hydraulique freine le mouvement vertical. En passant sur une bosse, la roue est écartée de sa position d'équilibre : on veut qu'elle revienne le plus vite possible à l'équilibre, sans rebondir.

Qualitativement, que ressentent les passagers si l'amortisseur est usé (suspension « molle ») ? Et si l'amortisseur est trop dur (presque bloqué) ?

L'écart vertical $x (t)$ obéit à $x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ , avec $ω_{0} = k / m$ . Calculer $ω_{0}$ et la fréquence propre $f_{0}$ .

On règle l'amortisseur au régime critique $Q = \frac{1}{2}$ : retour le plus rapide sans oscillation. Déterminer le coefficient $h$ défini par $x ¨ + 2 h x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ , puis le temps caractéristique $τ = 1/ h$ .

Un constructeur règle en réalité $Q \approx 0, 7$ (légèrement sous-amorti) pour un meilleur compromis confort/tenue de route. Combien d'oscillations visibles subsistent ? Commenter.

Corrigé

1. Amortisseur usé ( $Q$ grand) : la voiture rebondit plusieurs fois après chaque bosse, elle « flotte » — tenue de route et confort dégradés. Amortisseur trop dur ( $Q$ très petit) : chaque irrégularité de la route est transmise directement à l'habitacle — secousses sèches.

2. $ω_{0} = k / m = 30000/300 = 10 rad / s$ , d'où

$ω_{0} = 10 rad / s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} \approx 1, 6 Hz .$

3. En identifiant $\frac{ω _{0}}{Q} = 2 h$ , le régime critique $Q = \frac{1}{2}$ donne $2 h = 2 ω_{0}$ , soit $h = ω_{0}$ :

$h = ω_{0} = 10 / s, τ = \frac{1}{h} = 0, 10 s .$

Le retour à l'équilibre prend quelques $τ$ , soit environ $0, 3 s$ : rapide et sans rebond.

4. Pour $Q = 0, 7 > \frac{1}{2}$ , le régime est légèrement pseudo-périodique : $ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}} = 10 1 - \frac{1}{1 , 96} \approx 7, 0 rad / s$ . L'amplitude est divisée par $e$ en $τ = 2 Q / ω_{0} \approx 0, 14 s$ , comparable à une seule pseudo-période $T = 2 π / ω \approx 0, 9 s$ : on observe au plus un seul léger sursaut avant le retour à l'équilibre. Le compromis est trouvé.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.