Le métronome qui bat la mesure

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

Un métronome mécanique est modélisé par un pendule : une tige porte une masselotte et oscille de part et d'autre de la verticale. Pour les petits angles, on l'assimile à un pendule simple de longueur $ℓ$ (distance pivot--masselotte). Le musicien règle le tempo en déplaçant la masselotte.

Établir l'équation du mouvement pour les petites oscillations et en déduire la période propre $T_{0}$ .

La masselotte est à $ℓ_{1} = 0, 25 m$ du pivot. Calculer $T_{0}$ puis le tempo (battements/minute), $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Le musicien veut un tempo deux fois plus rapide. À quelle distance $ℓ_{2}$ placer la masselotte ?

Pourquoi parle-t-on d'isochronisme ? Reste-t-il exact si l'amplitude augmente ?

Corrigé

1. Le théorème du moment cinétique au pivot donne, avec $θ$ l'angle à la verticale, $θ ¨ + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0$ . Pour les petites oscillations, $sin θ ≃ θ$ , d'où $θ ¨ + ω_{0}^{2} θ = 0$ avec $ω_{0}^{2} = g / ℓ$ , soit

$T_{0} = 2 π \frac{ℓ}{g} .$

2. Pour $ℓ_{1} = 0, 25 m$ : $T_{0} = 2 π 0, 25/9, 81 ≃ 1, 0 s$ . Une demi-période sépare deux battements, donc le tempo vaut $\frac{120}{T _{0}} ≃ 120 bpm$ (Allegro).

3. Comme $T_{0} \propto ℓ$ , diviser la période par 2 (tempo $\times 2$ ) impose de diviser $ℓ$ par 4 :

$ℓ_{2} = \frac{ℓ _{1}}{4} ≃ 6, 3 cm .$

4. L'isochronisme : $T_{0}$ ne dépend pas de l'amplitude (toutes les petites oscillations durent autant), conséquence de $sin θ ≃ θ$ . Si l'amplitude croît, ce terme n'est plus linéaire et la période augmente légèrement ( $T \approx T_{0} (1 + θ_{m a x}^{2} /16)$ ) : l'isochronisme n'est qu'approché.

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