Le sismographe : capter les tremblements de la Terre

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

Un sismographe est une masse $m = 1, 0 kg$ suspendue à un ressort ( $k = 40 N / m$ ) avec un amortisseur, fixée au sol. Quand le sol vibre, la masse, par inertie, reste presque immobile : on enregistre le mouvement relatif masse/sol.

Calculer la pulsation propre $ω_{0}$ et la fréquence propre $f_{0}$ .

Le coefficient d'amortissement vaut $λ = 4, 0 kg / s$ (force $- λ v$ ). Calculer $Q = \frac{m ω _{0}}{λ}$ . Le régime est-il faiblement ou fortement amorti ?

Pourquoi amortit-on volontairement l'instrument ? Que se passerait-il si $Q$ était très grand après une secousse ?

Quel ordre de grandeur de $Q$ recherche-t-on, et pourquoi $Q \approx 0, 7$ est-il un bon compromis ?

Corrigé

1. $ω_{0} = k / m = 40/1, 0 \approx 6, 3 rad / s$ , $f_{0} = ω_{0} /2 π \approx 1, 0 Hz$ (typique des ondes sismiques).

2. $Q = \frac{m ω _{0}}{λ} = \frac{1 , 0 \times 6 , 3}{4 , 0} \approx 1, 6$ . Comme $Q > \frac{1}{2}$ , le régime est pseudo-périodique (faiblement amorti).

3. On amortit pour que l'instrument cesse vite d'osciller de lui-même. Si $Q$ était très grand, après une secousse la masse continuerait à osciller longtemps à $f_{0}$ : ces oscillations propres parasites masqueraient les secousses suivantes. L'amortissement tue le transitoire.

4. On cherche $Q \approx 0, 7$ (proche du critique) : assez amorti pour que les oscillations propres s'éteignent vite sans rebond, mais sans la lenteur de l'apériodique. La réponse en fréquence reste alors la plus plate possible autour de $f_{0}$ .

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