Le sismographe : excitation par le support

Un sismographe vertical est une masse $m$ suspendue, par un ressort de raideur $k$ et un amortisseur de coefficient $h$, à un bâti solidaire du sol. Lors d'un séisme, le sol (donc le bâti) a un mouvement vertical $y(t)=Y\cos \omega t$ dans le référentiel terrestre, supposé galiléen pour ce mouvement rapide. On note $x(t)$ le déplacement de la masse et $z=x-y$ son déplacement par rapport au bâti, que l'instrument enregistre. Les forces du ressort et de l'amortisseur dépendent de l'allongement et de sa vitesse, donc de $z$ et $\dot{z}$.

1) Montrer que $m\ddot{z}+h\dot{z}+kz=-m\ddot{y}$. Qu'est-ce qui joue le rôle de la force excitatrice ?

2) En régime forcé, montrer que $\frac{|\underline{Z}|}{Y}=\frac{u^2}{\sqrt{(1-u^2{)}^2+u^2/Q^2}}$ avec $u=\omega /{\omega }_0$. Étudier les limites $u\ll 1$ et $u\gg 1$ (module et phase). Que mesure l'instrument dans chaque cas ?

3) Un instrument a $m=1,0\mathrm{kg}$, $k=40\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $h=4,0\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$. Calculer $f_0$ et $Q$, puis $|\underline{Z}|/Y$ pour $u=0,2$ ; $0,5$ ; $1$ ; $2$ ; $5$. Quel défaut présente-t-il ?

4) Montrer que la réponse ne présente pas de maximum si et seulement si $Q\le 1/\sqrt{2}$. Refaire le calcul du 3) pour $Q=0,7$ et commenter ; quelle valeur de $h$ faut-il ?