Le tunnel à travers la Terre

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques · A. L'oscillateur harmonique

Énoncé

On creuse un tunnel rectiligne entre deux points $P$ et $P^{'}$ de la surface terrestre ; on y fait le vide et l'on y supprime tout frottement. La Terre est supposée homogène, de centre $O$ et de rayon $R = 6371 km$ , et l'on néglige sa rotation. On admet qu'à l'intérieur de la Terre, à la distance $r$ du centre, un point de masse $m$ subit la force $F = - m g_{0} \frac{O M}{R}$ , avec $g_{0} = 9, 81 m s^{- 2}$ .

1) On repère le mobile par son abscisse $x$ le long du tunnel, comptée à partir du milieu $H$ de la corde $[P P^{'}]$ (on note $b = O H$ ). Montrer que la composante de la force le long du tunnel vaut $- m g_{0} x / R$ , et que le mouvement est harmonique de pulsation $ω_{0} = g_{0} / R$ . Que remarque-t-on ?

2) Un wagon est lâché sans vitesse en $P$ . Combien de temps met-il pour atteindre $P^{'}$ ? Commenter.

3) Exprimer la vitesse maximale en fonction de $ω_{0}$ et de la demi-longueur $L$ de la corde, d'abord par la solution horaire, puis par la conservation de l'énergie (on déterminera l'énergie potentielle dont dérive $F$ ). Applications : Paris–Londres ( $344 km$ le long de la surface) et Paris–Tokyo ( $9710 km$ le long de la surface) ; profondeur maximale atteinte dans ce second cas.

4) Comparer la période du mouvement à celle d'un satellite en orbite circulaire rasante (rayon $R$ ). Retrouver ce résultat en considérant la projection d'un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre.

Corrigé

1) Un oscillateur harmonique déguisé. Soit $u$ le vecteur unitaire du tunnel et $n = O H / b$ , perpendiculaire au tunnel. La position s'écrit $O M = O H + H M = b n + x u$ . La force est donc $F = - \frac{m g _{0}}{R} (b n + x u) .$ Sa composante sur $n$ , constante, est compensée par la réaction des parois du tunnel (sans frottement, donc perpendiculaire à $u$ ) ; sa composante sur $u$ vaut $- \frac{m g _{0}}{R} x$ . La loi de la quantité de mouvement projetée sur $u$ donne $m x ¨ = - \frac{m g _{0}}{R} x ⟹ x ¨ + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = \frac{g _{0}}{R} .$ Ce qu'on remarque. La pulsation ne dépend ni de $b$ , ni de la masse : tous les tunnels, quelle que soit leur direction, ont le même oscillateur.

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