Le verre brisé par la voix

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques

Énoncé

Une chanteuse tient une note pure devant un verre en cristal. À $660 Hz$ exactement, le verre vibre de plus en plus fort jusqu'à éclater. Le verre se comporte comme un oscillateur amorti en régime forcé, d'amplitude

$X (ω) = \frac{X _{0}}{( 1 - \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}} ) ^{2} + \frac{1}{Q ^{2}} \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}}} .$

À quelle condition sur $Q$ existe-t-il une résonance d'amplitude ? Pour $Q ≫ 1$ , donner la pulsation de résonance $ω_{r}$ .

Calculer le facteur d'amplification $X (ω_{0}) / X_{0}$ . Comparer un verre ordinaire ( $Q \approx 30$ ) à un cristal de qualité ( $Q \approx 1000$ ).

La largeur de résonance vaut $Δ ω \approx ω_{0} / Q$ . Calculer, pour le cristal, l'écart $Δ f$ autour de $660 Hz$ à respecter. Pourquoi faut-il chanter très juste ?

Pourquoi un cristal de bonne qualité se brise-t-il plus facilement qu'un verre bon marché ?

Corrigé

1. Le dénominateur, avec $u = ω^{2} / ω_{0}^{2}$ , est $f (u) = (1 - u)^{2} + u / Q^{2}$ ; $f^{'} (u) = - 2 (1 - u) + 1/ Q^{2} = 0$ donne $u = 1 - \frac{1}{2 Q ^{2}}$ , positif (résonance) seulement si

$Q > \frac{1}{2}, ω_{r} = ω_{0} 1 - \frac{1}{2 Q ^{2}} Q ≫ 1 ω_{r} \approx ω_{0} .$

2. À $ω = ω_{0}$ ( $u = 1$ ), le dénominateur vaut $1/ Q$ , donc $X (ω_{0}) / X_{0} = Q$ . Verre ordinaire : amplification $\approx 30$ . Cristal : $\approx 1000$ , soit plus de trente fois plus grand pour la même intensité sonore.

3. $Δ f \approx f_{0} / Q = 660 Hz /1000 \approx 0, 66 Hz$ : il faut tenir la note à mieux que $\pm 0, 33 Hz$ près. La résonance d'un grand $Q$ est extrêmement aiguë, d'où la nécessité de chanter parfaitement juste.

4. Grand $Q$ = faibles pertes : l'énergie injectée s'accumule au lieu d'être dissipée, l'amplitude atteint $Q$ fois l'amplitude statique. Le cristal, peu amorti, voit ses contraintes croître jusqu'à la rupture, alors qu'un verre ordinaire (grand amortissement) dissipe l'énergie et reste loin du seuil.

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