Mesurer $Q$ sur un enregistrement : le décrément logarithmique

Une masse $m=0,200\mathrm{kg}$, accrochée à un ressort et soumise à un frottement visqueux, est écartée de l'équilibre puis lâchée. Un capteur relève les maxima successifs $x_n$ de son élongation, séparés d'une pseudo-période $T=0,500\mathrm{s}$ :

1) En régime pseudo-périodique, montrer que le rapport $\frac{x(t)}{x(t+T)}$ est indépendant de $t$, et que le décrément logarithmique $\delta =\ln \frac{x(t)}{x(t+T)}$ vaut $\frac{\pi }{\sqrt{Q^2-1/4}}$. Que devient-il pour $Q\gg 1$ ?

2) Quel graphe faut-il tracer pour exploiter toutes les mesures ? Le tracer (on donnera les valeurs utiles) et en déduire $\delta$ puis $Q$.

3) En déduire ${\omega }_0$, la raideur $k$, le coefficient de frottement $h$ et la constante de temps $\tau =2Q/{\omega }_0$ de l'enveloppe.

4) Au bout de combien de pseudo-périodes l'amplitude est-elle divisée par deux ? Par ${\mathrm{e}}^{\pi }\approx 23$ ? Justifier ainsi l'énoncé du cours : « le nombre d'oscillations visibles est de l'ordre de $Q$ ».