Oscillations transversales entre deux ressorts

Une masse $m$ glisse sans frottement sur une table horizontale. Elle est reliée à deux points fixes $A$ et $B$ de la table, distants de $2\ell$, par deux ressorts identiques de raideur $k$ et de longueur à vide ${\ell }_0\le \ell$. À l'équilibre, la masse est au milieu $O$ de $[AB]$. Données : $m=0,10\mathrm{kg}$, $k=50\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, ${\ell }_0=20\mathrm{cm}$, $\ell =25\mathrm{cm}$.

1) Mouvement longitudinal (le long de $AB$). Montrer qu'il est harmonique et donner sa pulsation ${\omega }_{\parallel }$.

2) Mouvement transversal (perpendiculaire à $AB$, dans le plan de la table, d'écart $y$). Établir l'expression exacte de la force subie par la masse. L'équation du mouvement est-elle linéaire ?

3) Linéariser pour $|y|\ll \ell$ et montrer que les petites oscillations transversales ont la pulsation ${\omega }_{\perp }=\sqrt{\frac{2k(\ell -{\ell }_0)}{m\ell }}=\sqrt{\frac{2T_0}{m\ell }}$, où $T_0$ est la tension des ressorts à l'équilibre. Calculer ${\omega }_{\parallel }$, ${\omega }_{\perp }$ et leur rapport ; commenter.

4) Le cas limite $\ell ={\ell }_0$. Montrer que la force transversale vaut alors $-k{y}^3/{\ell }_0^2$ à l'ordre le plus bas. Que devient l'approximation harmonique ? Par analyse dimensionnelle, montrer que la période des oscillations d'amplitude $Y$ est de la forme $C\frac{{\ell }_0}{Y}\sqrt{\frac{m}{k}}$, $C$ étant une constante sans dimension.

5) Une corde de guitare est-elle plus proche du cas 3 ou du cas 4 ? Quelle grandeur règle la hauteur de la note ?