Peser un astronaute en orbite

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques · A. L'oscillateur harmonique

Énoncé

En orbite, une balance ne pèse rien : tout est en chute libre. Les astronautes de la station Skylab (1973) se pesaient avec un siège de masse $m_{0}$ (inconnue) monté sur un ressort de raideur $k$ (inconnue), qui oscille sans frottement le long d'un rail. On admet que, dans le référentiel de la station (en chute libre), les lois de Newton s'appliquent comme si la pesanteur n'existait pas : c'est l'impesanteur. On mesure la période des oscillations dans trois cas :

siège	vide	avec un étalon de $m_{c} = 20, 0 kg$	avec l'astronaute
période	$T_{0} = 0, 487 s$	$T_{1} = 0, 743 s$	$T_{2} = 1, 172 s$

1) Établir l'équation du mouvement du siège chargé d'une masse $M$ , et en déduire sa période. Pourquoi cette mesure fonctionne-t-elle en impesanteur, alors qu'un pèse-personne n'y fonctionne pas ?

2) Montrer que la masse de l'astronaute vaut $m = m_{c} \frac{T _{2}^{2} - T _{0}^{2}}{T _{1}^{2} - T _{0}^{2}}$ , sans connaître ni $k$ ni $m_{0}$ . Calculer $m$ , puis $k$ et $m_{0}$ .

3) Une erreur de $1 ms$ sur $T_{2}$ entraîne quelle erreur sur $m$ ? Pourquoi chronomètre-t-on plusieurs périodes ?

4) L'astronaute n'est pas un solide : ses organes, liés au squelette de façon élastique, peuvent bouger un peu par rapport au siège. En les modélisant comme une masse $m^{'}$ reliée au siège par un ressort de pulsation propre $ω^{'}$ grande devant la pulsation $ω$ du siège, et en utilisant la réponse d'un oscillateur dont le support est animé d'un mouvement sinusoïdal, dire dans quel sens la mesure est biaisée.

Corrigé

1) L'équation et la période. Système : le siège chargé, de masse $m_{0} + M$ , dans le référentiel de la station où, comme l'énoncé l'admet, les lois de Newton s'appliquent sans pesanteur. Selon l'axe du rail, seule agit la force du ressort $- k x$ , $x$ étant l'écart à la position d'équilibre ; la réaction du rail, sans frottement, est perpendiculaire au mouvement. La loi de la quantité de mouvement projetée donne $(m_{0} + M) x ¨ = - k x ⟹ x ¨ + \frac{k}{m _{0} + M} x = 0, T = 2 π \frac{m _{0} + M}{k} .$ Pourquoi cela marche. La période dépend de la masse inerte, celle qui résiste à l'accélération, et non du poids. Un pèse-personne mesure la force qu'il faut exercer pour empêcher la chute ; en orbite, rien n'empêche la chute, cette force est nulle. Le ressort, lui, mesure l'inertie, qui ne disparaît jamais.

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