Problème — Facteur de qualité et bande passante

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques · C. Régime sinusoïdal forcé ; résonance

Énoncé

Un oscillateur de masse $m$ , de raideur $k$ et de coefficient de frottement visqueux $h$ est soumis à la force $F (t) = F_{m} cos ω t$ : $m x ¨ + h x ˙ + k x = F_{m} cos ω t$ . On pose $ω_{0} = k / m$ , $Q = \frac{m ω _{0}}{h}$ , et l'on étudie le régime forcé, en notant $V$ l'amplitude complexe de la vitesse $x ˙$ .

1) Montrer que $V = \frac{F _{m}}{h + i ( mω - \frac{k}{ω} )}$ . En déduire que $∣ V ∣$ est maximale exactement en $ω = ω_{0}$ , quel que soit $Q$ , et que son maximum vaut $V_{m} = F_{m} / h$ .

2) Montrer que la puissance moyenne reçue par l'oscillateur vaut $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} h ∣ V ∣^{2}$ . On appelle pulsations de coupure $ω_{1} < ω_{2}$ celles où $⟨ P ⟩$ vaut la moitié de son maximum. Établir, sans approximation, $ω_{2} - ω_{1} = \frac{h}{m} = \frac{ω _{0}}{Q}$ et $ω_{1} ω_{2} = ω_{0}^{2}$ .

3) Calculer l'argument de $V$ en $ω_{1}$ , $ω_{0}$ et $ω_{2}$ . En déduire que le déplacement est en quadrature retard sur la force en $ω = ω_{0}$ , quel que soit $Q$ . Pourquoi est-ce une bonne méthode pour mesurer $ω_{0}$ ?

4) À la résonance $ω = ω_{0}$ , montrer que l'énergie mécanique est constante et vaut $E = \frac{1}{2} m V_{m}^{2}$ , que l'énergie dissipée par le frottement en une période vaut $E_{diss} = \frac{π h V _{m}^{2}}{ω _{0}}$ , et en déduire $Q = 2 π \frac{E}{E _{diss}} .$

5) Régime libre. Pour $Q ≫ 1$ , montrer que l'énergie décroît en $e^{- ω_{0} t / Q}$ , en accord avec le 4). Un diapason a $f_{0} = 440 Hz$ et $Q = 1000$ : calculer la constante de temps $τ = 2 Q / ω_{0}$ de son amplitude, et la durée au bout de laquelle l'amplitude est divisée par $1000$ .

6) Lecture de courbes. Un résonateur à quartz d'horlogerie, analogue mécanique d'un circuit RLC, présente une résonance en vitesse à $f_{0} = 32768 Hz$ ; la courbe de puissance moyenne en fonction de la fréquence passe par la moitié de son maximum à $32767, 67 Hz$ et $32768, 33 Hz$ . En déduire $Q$ . Pourquoi un si grand $Q$ fait-il une bonne horloge ? Énoncer le résultat établi par le problème.

Corrigé

1) La résonance en vitesse. En complexes, $x = \frac{V}{iω}$ et $x ¨ = iω V$ ; l'équation devient $(imω + h + \frac{k}{iω}) V = F_{m}$ , et comme $\frac{1}{i} = - i$ : $V = \frac{F _{m}}{h + i ( mω - \frac{k}{ω} )}, ∣ V ∣ = \frac{F _{m}}{h ^{2} + ( mω - \frac{k}{ω} ) ^{2}} .$ Le dénominateur est minimal quand le terme au carré est nul, c'est-à-dire $mω = k / ω$ , soit $ω = ω_{0}$ exactement, et cela pour toute valeur de $h$ : il y a toujours une résonance en vitesse, et elle est toujours en $ω_{0}$ . Le maximum vaut $V_{m} = F_{m} / h$ . Contraste avec l'exercice 8 : la résonance d'amplitude n'existe que pour $Q > 1/ 2$ et se produit en $ω_{r} < ω_{0}$ ; le facteur $1/ ω$ qui sépare $x$ de $V$ suffit à déplacer le maximum.

2) La puissance et la bande passante. La puissance reçue est $P = F x ˙$ . En régime forcé, l'énergie mécanique est périodique, donc sa variation moyenne est nulle : la puissance moyenne reçue égale la puissance moyenne dissipée, $⟨ h x ˙^{2} ⟩ = \frac{1}{2} h ∣ V ∣^{2}$ , puisque la valeur moyenne de $cos^{2}$ vaut $\frac{1}{2}$ . D'où $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} h ∣ V ∣^{2}$ , maximale en $ω_{0}$ et égale à $\frac{F _{m}^{2}}{2 h}$ . La condition de mi-puissance, $∣ V ∣^{2} = \frac{1}{2} V_{m}^{2}$ , s'écrit $h^{2} + (mω - \frac{k}{ω})^{2} = 2 h^{2} ⟺ mω - \frac{k}{ω} = \pm h ⟺ m ω^{2} \mp hω - k = 0.$ Chacune de ces deux équations du second degré a une racine positive et une négative ; les racines positives sont $ω_{2} = \frac{h + h ^{2} + 4 k m}{2 m}, ω_{1} = \frac{- h + h ^{2} + 4 k m}{2 m} .$ Leur différence et leur produit valent, exactement, $ω_{2} - ω_{1} = \frac{h}{m} = \frac{ω _{0}}{Q}, ω_{1} ω_{2} = \frac{( h ^{2} + 4 k m ) - h ^{2}}{4 m ^{2}} = \frac{k}{m} = ω_{0}^{2} .$ La largeur de la bande passante à mi-puissance est $ω_{0} / Q$ , sans aucune hypothèse sur $Q$ ; et $ω_{0}$ est la moyenne géométrique des pulsations de coupure (la courbe est symétrique en échelle logarithmique).

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