Réponse à un échelon : pourquoi $Q \approx 0, 7$ ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 4 — Oscillateurs mécaniques · B. L'oscillateur amorti par frottement visqueux

Énoncé

La suspension d'une roue de voiture est modélisée par une masse $m = 300 kg$ sur un ressort de raideur $k = 3, 0 \times 1 0^{4} N m^{- 1}$ , avec un amortisseur de coefficient $h$ . À l'instant $t = 0$ , la masse étant au repos à l'équilibre, on lui applique brutalement une force verticale constante $F_{0}$ (un échelon). On note $x$ son déplacement, $x_{\infty} = F_{0} / k$ , $ω_{0} = k / m$ et $Q = m ω_{0} / h$ .

1) Écrire l'équation du mouvement et les conditions initiales. Calculer $ω_{0}$ et $f_{0}$ .

2) Régime pseudo-périodique. Résoudre et montrer que $x (t) = x_{\infty} [1 - e^{- t / τ} (cos Ω t + \frac{1}{Ω τ} sin Ω t)]$ , avec $τ = 2 Q / ω_{0}$ et $Ω = ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2})$ . Montrer que le premier maximum a lieu en $t = π /Ω$ et que le dépassement relatif vaut $D = exp (- \frac{π}{4 Q ^{2} - 1})$ .

3) Régime critique. Montrer que $x (t) = x_{\infty} [1 - (1 + ω_{0} t) e^{- ω_{0} t}]$ , sans dépassement. On définit le temps de réponse à $5 %$ , $t_{5%}$ , comme l'instant à partir duquel $x$ reste dans l'intervalle $[0, 95 x_{\infty}; 1, 05 x_{\infty}]$ . Montrer que $ω_{0} t_{5%}$ est solution de $(1 + u) e^{- u} = 0, 05$ , et vérifier que $u \approx 4, 74$ .

4) Pour quelle valeur $Q_{5}$ de $Q$ le dépassement vaut-il exactement $5 %$ ? Pour ce réglage, on trouve $ω_{0} t_{5%} \approx 2, 86$ . Comparer au régime critique. Que se passe-t-il pour $Q$ un peu supérieur à $Q_{5}$ ?

5) Calculer, pour la voiture, les temps de réponse et les coefficients $h$ correspondants au critique et à $Q_{5}$ . Pour un VTT de descente ( $m = 80 kg$ , $k = 2, 0 \times 1 0^{4} N m^{- 1}$ ), quel est le coefficient critique ? Conclure.

Corrigé

1) L'équation. La loi de la quantité de mouvement, l'origine étant prise à l'équilibre initial (le poids est compensé par la précontrainte du ressort), donne $m x ¨ = - k x - h x ˙ + F_{0}$ , soit $x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = ω_{0}^{2} x_{\infty}, x (0) = 0, x ˙ (0) = 0.$ Les conditions initiales traduisent la continuité de la position et de la vitesse : une force finie ne peut pas faire sauter la vitesse. $ω_{0} = 3, 0 \times 1 0^{4} /300 = 10 rad s^{- 1}$ , $f_{0} \approx 1, 6 Hz$ .

2) Le pseudo-périodique. La solution est la somme d'une solution particulière constante, $x_{\infty}$ , et de la solution générale de l'équation homogène : $x = x_{\infty} + e^{- t / τ} (A cos Ω t + B sin Ω t)$ . La condition $x (0) = 0$ donne $A = - x_{\infty}$ ; la condition $x ˙ (0) = - \frac{A}{τ} + B Ω = 0$ donne $B = - \frac{x _{\infty}}{Ω τ}$ . D'où l'expression annoncée. En dérivant, et en utilisant $Ω^{2} + \frac{1}{τ ^{2}} = ω_{0}^{2}$ : $x ˙ (t) = x_{\infty} \frac{ω _{0}^{2}}{Ω} e^{- t / τ} sin Ω t .$ La vitesse s'annule pour $Ω t = nπ$ ; le premier extremum après $t = 0$ est en $t = π /Ω$ , où $cos = - 1$ et $sin = 0$ : $x = x_{\infty} (1 + e^{- π / (Ω τ)})$ . Comme $Ω τ = \frac{2 Q}{ω _{0}} ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}} = 4 Q^{2} - 1$ , $D = exp (- \frac{π}{4 Q ^{2} - 1}) .$ Cas limites : $D \to 0$ quand $Q \to \frac{1}{2}^{+}$ (pas de dépassement au critique), $D \to 1$ quand $Q \to \infty$ (oscillation non amortie autour de $x_{\infty}$ , entre $0$ et $2 x_{\infty}$ ).

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