L'analyseur à miroir électrostatique : focalisation à 45°

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · C. Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

Énoncé

Deux grandes plaques planes parallèles et horizontales sont distantes de $d = 2, 0 cm$ . La plaque inférieure, au potentiel nul, est percée de deux fentes ; la plaque supérieure est portée au potentiel $- U$ , avec $U = 200 V$ . Des électrons d'énergie cinétique $E_{c}$ entrent par la première fente avec une vitesse faisant l'angle $α$ avec la plaque inférieure, dirigée vers le haut. On néglige le poids.

1) Montrer que l'électron décrit une parabole, ressort par la plaque inférieure, et que la distance entre le point d'entrée et le point de sortie vaut $L = 2 d \frac{E _{c}}{e U} sin 2 α$ . Commenter l'analogie avec la portée d'un projectile.

2) Exprimer la profondeur maximale de pénétration et la condition pour que l'électron ne touche pas la plaque supérieure. Application : $E_{c} = 100 eV$ , $α = 45°$ ; calculer $L$ et la profondeur.

3) Le faisceau incident est légèrement divergent : $α = 45° + δ$ , avec $∣ δ ∣$ petit. Montrer que $L$ ne varie qu'au second ordre en $δ$ et que l'étalement vaut $Δ L \approx 2 δ^{2} L$ . Calculer $Δ L$ pour $δ = 2°$ . Comparer à un réglage $α = 30°$ . Pourquoi parle-t-on de focalisation ?

4) Montrer que l'appareil est un analyseur en énergie : deux électrons d'énergies $E_{c}$ et $E_{c} + Δ E_{c}$ sortent à des distances différant de $Δ L / L = Δ E_{c} / E_{c}$ . Quelle résolution relative en énergie la divergence de $2°$ autorise-t-elle ?

Corrigé

La stratégie. Poser le champ et la force avec soin (le signe est le seul piège), reconnaître le problème du projectile, puis lire la formule de portée comme une fonction de l'angle et l'étudier au voisinage de son maximum.

1) La parabole et la portée. On prend $u_{x}$ le long des plaques et $u_{y}$ vers le haut, l'origine à la fente d'entrée. Le potentiel varie linéairement de $0$ en $y = 0$ à $- U$ en $y = d$ : $V (y) = - U \frac{y}{d}$ , et le champ $E = - \frac{d V}{d y} u_{y} = \frac{U}{d} u_{y}$ est dirigé vers le haut. L'électron subit $- e E = - \frac{e U}{d} u_{y}$ : il est repoussé vers le bas par la plaque négative, avec une accélération constante de norme $a = \frac{e U}{m d}$ . C'est un « miroir » électrostatique.

Avec $v_{0}$ la vitesse d'entrée, $x = v_{0} cos α t$ et $y = v_{0} sin α t - \frac{1}{2} a t^{2}$ : la trajectoire est une parabole, comme celle d'un projectile dans un champ de pesanteur $a$ . L'électron revient en $y = 0$ à l'instant $t_{s} = \frac{2 v _{0} sin α}{a}$ , à l'abscisse $L = v_{0} cos α \cdot \frac{2 v _{0} sin α}{a} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{a} = \frac{2 E _{c}}{m} \cdot \frac{m d}{e U} sin 2 α = 2 d \frac{E _{c}}{e U} sin 2 α .$ C'est exactement la formule de la portée d'un projectile, $\frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}$ , où $g$ est remplacé par $e U / (m d)$ . Le rapport $E_{c} / (e U)$ compare l'énergie de l'électron à la barrière de potentiel.

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