L'oscilloscope cathodique : écrire avec un faisceau d'électrons

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique

Énoncé

Dans un tube cathodique, un électron part du repos et est accéléré sous une tension $U_{0} = 2000 V$ . Il pénètre ensuite, à la vitesse $v_{0}$ , entre deux plaques horizontales distantes de $d = 2, 0 cm$ et de longueur $ℓ = 4, 0 cm$ , soumises à une tension $U = 200 V$ qui crée un champ $E$ vertical uniforme. À la sortie, le faisceau frappe un écran situé à $D = 20 cm$ du milieu des plaques.

Pourquoi le poids de l'électron est-il négligeable devant la force électrique ? Vers quelle plaque l'électron est-il dévié ?

Établir l'expression de la vitesse d'entrée $v_{0}$ en fonction de $e$ , $m_{e}$ , $U_{0}$ , puis la calculer.

Montrer que la trajectoire entre les plaques est une parabole et donner $y (x)$ .

Calculer la déviation $Y$ du spot sur l'écran. Est-elle proportionnelle à la tension $U$ ?

Corrigé

1. La force électrique vaut $e E = e U / d \approx 1, 6 \times 1 0^{- 15} N$ , le poids $m_{e} g \approx 9 \times 1 0^{- 30} N$ : le rapport est de l'ordre de $1 0^{14}$ , le poids est négligeable. L'électron, de charge $- e$ , subit $F = - e E$ , opposée à $E$ : il est dévié vers la plaque positive.

2. L'accélération donne $\frac{1}{2} m_{e} v_{0}^{2} = e U_{0}$ , d'où

$v_{0} = \frac{2 e U _{0}}{m _{e}} \approx 2, 7 \times 1 0^{7} m / s .$

3. Entre les plaques, $a = \frac{e U}{m _{e} d} e_{y}$ ; avec une entrée en $O$ à $v_{0} e_{x}$ : $x (t) = v_{0} t$ , $y (t) = \frac{1}{2} \frac{e U}{m _{e} d} t^{2}$ , d'où

$y (x) = \frac{e U}{2 m _{e} d v _{0}^{2}} x^{2},$

une parabole.

4. La déviation sur l'écran vaut

$Y = \frac{U ℓ}{2 U _{0} d} (\frac{ℓ}{2} + D) \approx \frac{200 \times 0 , 04}{2 \times 2000 \times 0 , 02} \times (0, 02 + 0, 20) \approx 2, 2 cm .$

$Y$ est proportionnelle à $U$ : c'est ce qui permet de « lire » une tension sur l'écran.

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