Le cercle démontré : projections et variable complexe

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · D. Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

Énoncé

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ se déplace dans un champ magnétique uniforme et stationnaire $B = B u_{z}$ ( $B > 0$ ), en l'absence de champ électrique et de tout autre force. À $t = 0$ , elle est en $M_{0}$ , de coordonnées $(x_{0}, y_{0}, 0)$ , avec une vitesse $v_{0}$ perpendiculaire à $B$ , de composantes $(v_{0 x}, v_{0 y}, 0)$ . On pose $ω = \frac{q B}{m}$ , grandeur algébrique du signe de $q$ .

1) Projeter le principe fondamental de la dynamique sur les trois axes. Montrer que le mouvement reste dans le plan $z = 0$ .

2) Montrer directement sur les projections que $v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ est constante. Relier ce résultat à la puissance de la force magnétique.

3) On pose $u = v_{x} + i v_{y}$ . Montrer que $\frac{d u}{d t} = - i ω u$ et résoudre.

4) En intégrant, montrer que la trajectoire est un cercle ; donner son centre, son rayon $R = \frac{m v _{0}}{∣ q ∣ B}$ et la période du mouvement.

5) Montrer que la particule tourne dans le sens horaire, vue depuis le côté vers lequel pointe $B$ , si $q > 0$ , et dans le sens trigonométrique si $q < 0$ . Exprimer le vecteur rotation $Ω$ de la particule autour du centre en fonction de $q$ , $m$ et $B$ .

6) Application : un électron de vitesse $v_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} m s^{- 1}$ dans un champ $B = 1, 0 mT$ . Calculer $R$ , la pulsation cyclotron et la période.

Corrigé

La stratégie. On écrit le PFD en coordonnées cartésiennes : deux équations couplées du premier ordre en $v_{x}$ et $v_{y}$ . Le couplage « $v ˙_{x}$ proportionnel à $v_{y}$ , $v ˙_{y}$ proportionnel à $- v_{x}$ » est celui d'une rotation : la variable complexe le transforme en une seule équation linéaire, qu'on sait résoudre.

1) Les projections. On calcule $v \land u_{z} = v_{y} u_{x} - v_{x} u_{y}$ (la composante $v_{z} u_{z} \land u_{z}$ est nulle). Le PFD $m a = q v \land B$ donne $v ˙_{x} = ω v_{y}, v ˙_{y} = - ω v_{x}, v ˙_{z} = 0.$ La troisième équation donne $v_{z} = v_{z} (0) = 0$ , puis $z = z (0) = 0$ : le mouvement est plan, dans le plan perpendiculaire à $B$ passant par $M_{0}$ . C'est ici que sert l'hypothèse $v_{0} ⊥ B$ ; sans elle, $v_{z}$ serait une constante non nulle et la trajectoire une hélice.

2) La norme de la vitesse. On calcule $\frac{d}{d t} (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) = 2 v_{x} v ˙_{x} + 2 v_{y} v ˙_{y} = 2 ω v_{x} v_{y} - 2 ω v_{y} v_{x} = 0.$ La norme de la vitesse est constante, égale à $v_{0}$ , et l'énergie cinétique aussi. C'est la traduction, composante par composante, du théorème du cours : la puissance $q (v \land B) \cdot v$ est nulle, et le théorème de la puissance cinétique donne $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = 0$ .

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