Le cyclotron : accélérer des protons pour soigner

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique

Énoncé

Dans un centre de protonthérapie, un cyclotron accélère des protons pour détruire des tumeurs. Les protons décrivent des demi-cercles dans deux électrodes creuses (les « dees ») plongées dans un champ magnétique uniforme $B = B e_{z}$ vertical ( $B = 2, 0 T$ ). À chaque traversée de l'espace entre les dees, une tension les accélère.

Dans un dee, montrer que le mouvement est circulaire uniforme et exprimer le rayon $R = \frac{m _{p} v}{e B}$ .

Calculer la pulsation cyclotron $ω_{c} = \frac{e B}{m _{p}}$ et la période $T$ . Pourquoi sont-elles indépendantes de $v$ ? En quoi est-ce le secret du cyclotron ?

Le proton sort quand $R = 0, 50 m$ . Calculer $v$ , puis son énergie cinétique en joules et en MeV.

La tension vaut $U = 50 kV$ , franchie deux fois par tour. Combien de tours pour atteindre cette énergie ?

Corrigé

1. La force $F = e v \land B$ est perpendiculaire à $v$ : elle ne travaille pas, $v$ est constante. Comme $v ⊥ B$ , elle est centripète de norme $e v B$ : $\frac{m _{p} v ^{2}}{R} = e v B$ , d'où $R = \frac{m _{p} v}{e B}$ .

2. $ω_{c} = \frac{v}{R} = \frac{e B}{m _{p}} \approx 1, 9 \times 1 0^{8} rad / s$ , $T = \frac{2 π m _{p}}{e B} \approx 3, 3 \times 1 0^{- 8} s$ . Le rayon grandit proportionnellement à $v$ , si bien que la durée d'un demi-tour $π m_{p} / (e B)$ ne dépend pas de $v$ : la tension peut être commutée à fréquence FIXE ( $f \approx 30 M Hz$ ) et reste toujours synchrone — c'est le principe du cyclotron.

3. $v = \frac{e B R}{m _{p}} \approx 9, 6 \times 1 0^{7} m / s$ ; $E_{c} = \frac{1}{2} m_{p} v^{2} \approx 7, 7 \times 1 0^{- 12} J \approx 48 M eV$ (avec $v / c \approx 0, 32$ , le traitement classique reste raisonnable).

4. À chaque tour, $Δ E = 2 e U = 1, 6 \times 1 0^{- 14} J$ ( $= 0, 10 M eV$ ), d'où $N = \frac{E _{c}}{Δ E} \approx 480 tours$ .

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