Le magnétron plan : la coupure de Hull

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · B. Puissance de la force de Lorentz

Énoncé

Une diode plane est formée d'une cathode, le plan $y = 0$ , et d'une anode, le plan $y = d$ , portée au potentiel $U > 0$ par rapport à la cathode. Le champ électrique entre les plaques est uniforme : $E = - \frac{U}{d} u_{y}$ , et le potentiel vaut $V (y) = U \frac{y}{d}$ . Un champ magnétique uniforme $B = B u_{z}$ , parallèle aux plaques, règne dans tout l'espace. Un électron, de charge $- e$ et de masse $m$ , quitte la cathode en $O$ avec une vitesse nulle. On néglige son poids.

1) Montrer, sans écrire les équations du mouvement, que la quantité $\frac{1}{2} m v^{2} - e U \frac{y}{d}$ est constante, et donner sa valeur. Pourquoi $B$ n'y figure-t-il pas ?

2) Projeter le principe fondamental de la dynamique sur $u_{x}$ et l'intégrer une fois : montrer que $m v_{x} = - e B y$ à chaque instant.

3) En déduire $v_{y}^{2}$ en fonction de $y$ , puis l'ordonnée maximale atteinte par l'électron : $y_{max} = \frac{2 m U}{e B ^{2} d}$ . Vérifier l'homogénéité et le cas limite $B \to 0$ .

4) Montrer que le courant anodique s'annule brutalement au-delà d'un champ de coupure $B_{c} = \frac{1}{d} \frac{2 m U}{e}$ (coupure de Hull, 1921). Calculer $B_{c}$ pour $U = 1, 0 kV$ et $d = 1, 0 cm$ , puis $y_{max}$ pour $B = 1, 2 B_{c}$ .

5) Que vaut la vitesse de l'électron au sommet de sa trajectoire lorsque $B > B_{c}$ ? Dans quelle direction est-elle ? Où et comment l'électron revient-il sur la cathode ?

Corrigé

La stratégie. Le mouvement est plan mais couplé : la force magnétique mélange les composantes $x$ et $y$ de la vitesse, et la trajectoire n'est ni une parabole ni un cercle. On ne cherche pas à la calculer. On va chercher deux quantités conservées, chacune donnant une relation entre la vitesse et la position ; deux relations pour deux composantes de la vitesse suffisent à trouver le point où $v_{y}$ s'annule, c'est-à-dire la hauteur maximale.

1) L'intégrale première de l'énergie. La puissance de la force de Lorentz se réduit à celle de la force électrique, car $(v \land B) \cdot v = 0$ : le produit vectoriel est orthogonal à $v$ . Le théorème de la puissance cinétique donne donc $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = (- e) E \cdot v = (- e) (- \frac{U}{d}) y ˙ = \frac{e U}{d} y ˙ = \frac{d}{d t} (e U \frac{y}{d}) .$ La quantité $\frac{1}{2} m v^{2} - e U \frac{y}{d}$ a une dérivée nulle : elle est constante, et vaut sa valeur initiale, $0$ , puisque l'électron part du repos en $y = 0$ . C'est la conservation de l'énergie mécanique, l'énergie potentielle de l'électron étant $(- e) V (y)$ . Le champ $B$ n'y figure pas parce qu'il ne travaille pas : il peut tordre la trajectoire autant qu'il veut, il ne change pas la relation entre la vitesse et l'altitude. On retient $v^{2} = \frac{2 e U}{m d} y .$

2) L'intégrale première de la projection sur $u_{x}$ . Calculons la force magnétique : $v \land u_{z} = (v_{x} u_{x} + v_{y} u_{y}) \land u_{z} = - v_{x} u_{y} + v_{y} u_{x}$ . Donc $- e v \land B = - e B v_{y} u_{x} + e B v_{x} u_{y} .$ La force électrique $- e E = \frac{e U}{d} u_{y}$ n'a pas de composante selon $u_{x}$ . La projection du PFD sur $u_{x}$ s'écrit $m \frac{d v _{x}}{d t} = - e B \frac{d y}{d t},$ et c'est une égalité entre deux dérivées : elle s'intègre immédiatement en $m v_{x} = - e B y + cte$ . À l'instant initial, $v_{x} = 0$ et $y = 0$ , donc la constante est nulle : $m v_{x} = - e B y .$

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