Le mur invisible du tokamak

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique

Énoncé

Au cœur du réacteur de fusion ITER, un plasma est porté à plus de cent millions de degrés : aucun matériau ne pourrait le contenir. La solution : un champ magnétique intense qui force chaque noyau chargé à s'enrouler en hélice autour des lignes de champ. On considère un noyau de deutérium ( $q = e$ , $m = 3, 3 \times 1 0^{- 27} kg$ ) de vitesse $v$ dans $B = B e_{x}$ ( $B = 5, 0 T$ ), avec $v = v_{∥} e_{x} + v_{⊥} e_{y}$ .

Montrer que la force magnétique ne travaille pas, donc que $v$ est constante.

Pourquoi $v_{∥}$ n'est-il pas affecté, et pourquoi la projection dans $(e_{y}, e_{z})$ est-elle un cercle ? Conclure : hélice.

Établir le rayon de Larmor $R = \frac{m v _{⊥}}{e B}$ . Le calculer pour $v_{⊥} = 1, 0 \times 1 0^{6} m / s$ .

Par quel facteur multiplier $B$ pour diviser $R$ par deux ? Conclure sur le confinement.

Corrigé

1. $P = F \cdot v = q (v \land B) \cdot v = 0$ : $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = 0$ , donc $v = cte$ .

2. $F = q v \land B e_{x}$ n'a pas de composante selon $e_{x}$ : $v_{∥}$ est constante. Dans $(e_{y}, e_{z})$ , la force de norme constante $e v_{⊥} B$ est $⊥$ à la vitesse transverse : cercle. Cercle + translation uniforme = hélice.

3. $e v_{⊥} B = \frac{m v _{⊥}^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v _{⊥}}{e B} \approx 4, 1 \times 1 0^{- 3} m \approx 4, 1 mm$ .

4. $R \propto 1/ B$ : pour diviser $R$ par deux, il faut $doubler B$ . Un champ plus intense resserre l'hélice et maintient les noyaux loin des parois.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.