Le spectromètre de masse : trier les isotopes du chlore

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique

Énoncé

Pour séparer les isotopes $^{35} Cl$ et $^{37} Cl$ , on les ionise une fois ( $q = + e$ ), on les accélère sous $U = 1000 V$ , puis on les envoie dans un champ magnétique uniforme $B$ ( $B = 0, 10 T$ ) perpendiculaire à la vitesse. Chaque ion décrit un demi-cercle avant de frapper un détecteur. On note $m_{35} \approx 5, 8 \times 1 0^{- 26} kg$ , $m_{37} \approx 6, 1 \times 1 0^{- 26} kg$ .

La force magnétique travaille-t-elle ? Qu'en déduit-on sur la norme de la vitesse et la forme de la trajectoire ?

Exprimer la vitesse $v$ acquise après accélération, puis le rayon $R$ du cercle, en fonction de $m$ , $e$ , $U$ , $B$ .

Calculer $R_{35}$ et $R_{37}$ . À quelle distance $Δ$ les deux isotopes frappent-ils le détecteur ?

Comment augmenter l'écart $Δ$ pour mieux distinguer les deux taches ?

Corrigé

1. La force magnétique $F = q v \land B$ est perpendiculaire à $v$ : sa puissance est nulle, elle ne travaille pas. La norme $v$ reste constante ; avec une force de norme constante toujours perpendiculaire à $v$ , le mouvement est circulaire uniforme.

2. $\frac{1}{2} m v^{2} = e U \Rightarrow v = \frac{2 e U}{m}$ , et $\frac{m v ^{2}}{R} = e v B$ donne

$R = \frac{m v}{e B} = \frac{1}{B} \frac{2 m U}{e} .$

Le rayon croît comme $m$ : les ions lourds tournent plus large.

3. $R_{35} \approx 0, 269 m$ , $R_{37} \approx 0, 276 m$ . Les ions reviennent sur la ligne d'entrée à la distance $2 R$ , d'où

$Δ = 2 (R_{37} - R_{35}) \approx 1, 4 cm .$

4. Comme $Δ = \frac{2}{B} \frac{2 U}{e} (m_{37} - m_{35})$ , on augmente l'écart en diminuant $B$ ou en augmentant $U$ .

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