Les aurores boréales : spirale vers les pôles

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique

Énoncé

Le vent solaire projette des protons vers la Terre. Dans la magnétosphère, le champ terrestre vaut $B = B e_{z}$ ( $B = 5, 0 \times 1 0^{- 5} T$ ). Un proton arrive avec $v_{0} = v_{⊥} e_{x} + v_{∥} e_{z}$ , où $v_{⊥} = 3, 0 \times 1 0^{5} m / s$ et $v_{∥} = 1, 0 \times 1 0^{5} m / s$ .

Montrer que la composante de $v$ le long de $B$ reste constante, tandis que la composante perpendiculaire décrit un cercle. En déduire que la trajectoire est une hélice.

Calculer le rayon de Larmor $R$ et la période $T$ de rotation.

Calculer le pas de l'hélice (distance le long de $B$ par période).

La force magnétique change-t-elle $v_{0}$ ? Justifier, puis calculer cette norme.

Corrigé

1. $F = e v \land B$ avec $B = B e_{z}$ n'a pas de composante selon $e_{z}$ : $m_{p} v ˙_{z} = 0$ , donc $v_{∥} = constante$ . Dans le plan $(e_{x}, e_{y})$ , $v_{⊥}$ subit une force perpendiculaire de norme constante $e v_{⊥} B$ : mouvement circulaire uniforme. Cercle $⊥$ + translation uniforme $v_{∥}$ = hélice d'axe $B$ .

2. $R = \frac{m _{p} v _{⊥}}{e B} \approx 63 m$ , $T = \frac{2 π m _{p}}{e B} \approx 1, 3 \times 1 0^{- 3} s$ .

3. $p = v_{∥} T \approx 1, 3 \times 1 0^{2} m$ .

4. La force magnétique est $⊥ v$ , sa puissance est nulle : $v$ ne change pas. $v_{0} = v_{⊥}^{2} + v_{∥}^{2} \approx 3, 2 \times 1 0^{5} m / s$ .

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