Pourquoi Euler fait spiraler l'électron

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · D. Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

Énoncé

Le cours intègre numériquement le mouvement d'un électron dans $B = B u_{z}$ ( $q = - 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ , $B = 1, 0 \times 1 0^{- 3} T$ , $v_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} m s^{- 1}$ , pas $d t = 1, 0 \times 1 0^{- 11} s$ ) par la méthode d'Euler explicite : à chaque pas, les deux composantes de la vitesse sont mises à jour avec les valeurs du pas précédent, $v_{x} \leftarrow v_{x} + ω v_{y} d t, v_{y} \leftarrow v_{y} - ω v_{x} d t, ω = \frac{q B}{m} .$ On constate que le rayon de la trajectoire croît lentement.

1) On pose $u = v_{x} + i v_{y}$ . Montrer qu'un pas d'Euler s'écrit $u_{n + 1} = (1 - i ω d t) u_{n}$ . En déduire que la norme de la vitesse est multipliée par $1 + (ω d t)^{2}$ à chaque pas.

2) Montrer que sur un tour, de durée $2 π /∣ ω ∣$ , la norme de la vitesse, donc le rayon, est multipliée par un facteur voisin de $e^{π ∣ ω ∣ d t}$ . Calculer l'augmentation relative par tour avec les données du cours, puis le facteur au bout de cent tours.

3) On modifie le schéma : on met d'abord à jour $v_{x}$ , puis on calcule $v_{y}$ avec la nouvelle valeur de $v_{x}$ (schéma semi-implicite). Montrer, avec $h = ω d t$ , que la quantité $Q = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + h v_{x} v_{y}$ est exactement conservée d'un pas au suivant. En déduire que la norme de la vitesse reste bornée.

4) Écrire un script Python qui compare les deux schémas sur cent tours, et commenter.

Corrigé

La stratégie. Au lieu de constater la dérive sur un graphe, on calcule ce que fait un pas du schéma, exactement, en variable complexe : le défaut apparaîtra comme un facteur multiplicatif, qu'il suffira d'élever à la puissance du nombre de pas.

1) Un pas d'Euler. Avec les deux mises à jour, $u_{n + 1} = (v_{x} + ω v_{y} d t) + i (v_{y} - ω v_{x} d t) = (v_{x} + i v_{y}) - i ω d t (v_{x} + i v_{y}) = (1 - i ω d t) u_{n} .$ C'est la discrétisation de $u ˙ = - iω u$ (exercice 5). Le module d'un produit est le produit des modules : $∣ u_{n + 1} ∣ = ∣1 - iω d t ∣ ∣ u_{n} ∣ = 1 + (ω d t)^{2} ∣ u_{n} ∣$ . Ce facteur est strictement supérieur à $1$ : à chaque pas, la vitesse grandit, quel que soit $d t$ . Le schéma exact multiplierait $u$ par $e^{- iω d t}$ , de module $1$ : Euler remplace un point du cercle unité par un point de sa tangente, extérieur au cercle.

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