Problème : le cyclotron de Lawrence

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · D. Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

Énoncé

Un cyclotron est formé de deux électrodes creuses en forme de demi-cylindres plats, les « dees », placées dans un champ magnétique uniforme $B = B u_{z}$ perpendiculaire à leur plan, avec $B = 2, 0 T$ . Dans l'intervalle étroit qui sépare les dees, une tension alternative d'amplitude $U = 50 kV$ crée un champ électrique ; à l'intérieur des dees, le champ électrique est nul. Des protons sont injectés presque au repos au centre. On néglige la durée de traversée de l'intervalle et le poids. Le rayon d'extraction est $R = 0, 50 m$ .

1) Dans un dee, montrer que le proton décrit un demi-cercle de rayon $r = \frac{m _{p} v}{e B}$ , en une durée $τ = \frac{π m _{p}}{e B}$ indépendante de sa vitesse.

2) En déduire la fréquence qu'il faut imposer à la tension pour que le proton soit accéléré à chaque traversée de l'intervalle (condition de synchronisme). Calculer cette fréquence et la période correspondante.

3) Le proton a franchi $n$ fois l'intervalle, chaque fois au moment où la tension vaut $U$ . Exprimer son énergie cinétique, puis le rayon $r_{n}$ du demi-cercle suivant, et montrer que $r_{n} \propto n$ . Calculer $r_{1}$ et $r_{100}$ . Comment évolue l'écart entre deux demi-cercles successifs ?

4) Montrer que l'énergie cinétique à l'extraction vaut $E_{max} = \frac{e ^{2} B ^{2} R ^{2}}{2 m _{p}}$ , et la calculer en joules et en mégaélectronvolts. Dépend-elle de $U$ ? Quel est alors le rôle de $U$ ? Calculer le nombre de tours effectués et la durée de l'accélération.

5) Calculer la vitesse du proton à l'extraction et le rapport $v / c$ . Discuter qualitativement la validité du modèle newtonien et la condition de synchronisme aux plus hautes énergies.

6) Pourquoi n'accélère-t-on pas d'électrons dans un cyclotron ? On calculera, avec le même champ et le même rayon, la vitesse d'extraction que prédirait le modèle newtonien.

Corrigé

1) Un demi-tour dans un dee. À l'intérieur d'un dee, le champ électrique est nul : le proton n'est soumis qu'à la force magnétique, qui ne travaille pas. Sa vitesse garde une norme constante $v$ , perpendiculaire à $B$ , et il décrit un cercle de rayon $r = \frac{m _{p} v}{e B}$ (cours, exercice 5). Il entre dans le dee en traversant le diamètre, et en ressort après un demi-cercle, en un temps égal à la longueur parcourue divisée par la vitesse : $τ = \frac{π r}{v} = \frac{π}{v} \cdot \frac{m _{p} v}{e B} = \frac{π m _{p}}{e B} .$ La vitesse s'est simplifiée : un proton rapide parcourt un demi-cercle plus grand, exactement dans la proportion de sa vitesse. Tous les protons passent le même temps dans un dee.

2) Le synchronisme. Pour que le proton soit accéléré à chaque passage, il faut que le champ dans l'intervalle se soit inversé entre deux passages successifs, puisqu'il traverse l'intervalle alternativement dans un sens et dans l'autre. Il faut donc que la tension change de signe toutes les durées $τ$ : sa période doit être $2 τ$ , et sa fréquence $f = \frac{1}{2 τ} = \frac{e B}{2 π m _{p}} = \frac{ω _{c}}{2 π},$ la fréquence cyclotron. Numériquement, $ω_{c} = \frac{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 2 , 0}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27}} \approx 1, 92 \times 1 0^{8} rad s^{- 1}$ , $f \approx 30, 5 MHz$ , $T = 1/ f \approx 32, 8 ns$ . Parce que $τ$ ne dépend pas de $v$ , une seule fréquence fixe convient pour toutes les orbites : c'est l'idée de Lawrence, et c'est ce qui fait qu'une tension de radiofréquence ordinaire suffit.

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