Quand le poids compte-t-il ? De l'électron à la gouttelette de Millikan

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · A. La force de Lorentz

Énoncé

a) Un électron, puis un proton, sont placés dans un champ électrique uniforme de norme $E = 1, 0 \times 1 0^{4} V m^{- 1}$ . Calculer, pour chacun, le rapport $\frac{∣ q ∣ E}{m g}$ de la force électrique au poids. Montrer plus généralement que le poids d'une particule de masse $m$ et de charge $q$ est négligeable devant la force électrique si et seulement si $\frac{m}{∣ q ∣} ≪ \frac{E}{g}$ , et donner la valeur de $E$ en dessous de laquelle ce n'est plus vrai pour un électron.

b) Comparer la force électrostatique et la force gravitationnelle qui s'exercent entre deux électrons, puis entre deux protons. Pourquoi ce rapport ne dépend-il pas de la distance ? Pourquoi la gravitation gouverne-t-elle néanmoins le mouvement des planètes ?

c) Un électron de vitesse $v = 1, 0 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ est soumis au champ électrique précédent et à un champ magnétique $B = 0, 10 T$ , avec $v ⊥ B$ . Laquelle des deux forces domine ? Écrire le critère général.

d) L'expérience de Millikan (1909). Une gouttelette d'huile sphérique, de rayon $r = 1, 0 μ m$ et de masse volumique $ρ = 900 kg m^{- 3}$ , porte $n$ charges élémentaires négatives. Elle est placée entre deux plaques horizontales distantes de $d = 1, 0 cm$ , entre lesquelles on établit une tension $U$ ; on néglige la poussée d'Archimède. Quelle plaque doit être positive pour que la gouttelette puisse rester immobile ? Exprimer la tension d'équilibre $U_{n}$ et la calculer pour $n = 1$ à $5$ . Expliquer comment une série de tensions d'équilibre mesurées sur des gouttelettes différentes établit que la charge est quantifiée. Pourquoi la conclusion du a) ne s'applique-t-elle pas ici ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser, et la stratégie. La force électrique $q E$ , la force magnétique $q v \land B$ , le poids $m g$ , la loi de Coulomb entre deux charges ponctuelles, de norme $\frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , et la loi de la gravitation, de norme $\frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$ . La stratégie est la même dans les quatre questions : avant d'écrire le principe fondamental de la dynamique, on forme le rapport sans dimension de deux forces, et c'est sa valeur qui décide de ce qu'on garde.

a) Électron et proton dans un champ de $1 0^{4} V m^{- 1}$ . Pour l'électron, $\frac{e E}{m _{e} g} = \frac{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{4}}{9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times 9 , 81} \approx 1, 8 \times 1 0^{14} .$ Pour le proton, $1836$ fois plus lourd, $\frac{e E}{m _{p} g} \approx 9, 8 \times 1 0^{10}$ . Négliger le poids est une erreur relative de $1 0^{- 11}$ au plus.

Le critère général se lit en divisant : $∣ q ∣ E ≫ m g$ équivaut à $\frac{m}{∣ q ∣} ≪ \frac{E}{g}$ . Le membre de gauche ne dépend que de la particule, le membre de droite que du champ. Pour l'électron, $\frac{m _{e}}{e} = 5, 7 \times 1 0^{- 12} kg C^{- 1}$ , et les deux forces seraient égales pour $E^{*} = \frac{m _{e} g}{e} \approx 5, 6 \times 1 0^{- 11} V m^{- 1} .$ Le simple champ électrique de l'atmosphère par beau temps, de l'ordre de $100 V m^{- 1}$ , lui est supérieur de douze ordres de grandeur. Pour un électron, un proton, un ion, le poids est toujours négligeable devant une force électrique.

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