Une bande de champ magnétique : déviation, réflexion, rigidité magnétique

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 5 — Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique · D. Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

Énoncé

Un champ magnétique uniforme $B = B u_{z}$ règne dans la bande $0 \leq x \leq ℓ$ et est nul en dehors. Une particule de charge $q$ , de masse $m$ et de quantité de mouvement $p = m v$ y pénètre en $O$ avec la vitesse $v u_{x}$ , perpendiculaire au bord de la bande. On néglige le poids.

1) Montrer que, dans la bande, la trajectoire est un arc de cercle de rayon $R = \frac{p}{∣ q ∣ B}$ dont le centre est sur l'axe $O y$ .

2) On suppose $R > ℓ$ . Montrer que la particule ressort par le bord $x = ℓ$ , avec une vitesse déviée de l'angle $θ$ tel que $sin θ = \frac{ℓ}{R}$ . Exprimer le décalage latéral à la sortie.

3) On suppose $R \leq ℓ$ . Montrer que la particule fait demi-tour et ressort par le bord $x = 0$ : où, et avec quelle vitesse ? En déduire qu'une bande de champ réfléchit toutes les particules de quantité de mouvement inférieure à un seuil $p_{c}$ à exprimer. On appelle rigidité magnétique la grandeur $B ρ = p /∣ q ∣$ : interpréter.

4) Le téléviseur cathodique. Des électrons accélérés sous $U = 2, 0 \times 1 0^{4} V$ traversent une zone de déviation de largeur $ℓ = 3, 0 cm$ . Calculer leur vitesse, puis l'angle de déviation pour $B = 1, 0 mT$ . Quel champ faut-il pour dévier le faisceau de $50°$ , comme l'exige le balayage d'un écran ?

5) Un bouclier magnétique. Calculer la rigidité magnétique d'un proton de $10 MeV$ . Quelle épaisseur de champ de $1, 0 T$ faut-il pour le réfléchir ?

Corrigé

La stratégie. Le cours (et l'exercice précédent) donnent le cercle ; tout le travail est géométrique : placer le centre, puis chercher où le cercle coupe les bords de la bande.

1) Le centre. Dans la bande, la particule est soumise à la seule force magnétique, avec une vitesse perpendiculaire à $B$ : elle décrit un cercle de rayon $R = \frac{m v}{∣ q ∣ B} = \frac{p}{∣ q ∣ B}$ , parcouru à vitesse constante. Le rayon qui joint le centre au point courant est perpendiculaire à la vitesse ; en $O$ , la vitesse est selon $u_{x}$ , donc le centre $C$ est sur l'axe $O y$ , à la distance $R$ de $O$ , du côté où pointe la force initiale $q v u_{x} \land B = - q v B u_{y}$ : vers les $y$ négatifs si $q > 0$ , vers les $y$ positifs si $q < 0$ . Pour fixer les idées, prenons $q < 0$ (des électrons) : $C = (0, R)$ , et la position après avoir tourné de l'angle $φ$ autour de $C$ s'écrit $x = R sin φ, y = R (1 - cos φ),$ la vitesse ayant elle-même tourné de $φ$ par rapport à $u_{x}$ .

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