Deux masses reliées par un fil à travers un trou

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · C. Le théorème du moment cinétique

Énoncé

Un palet de masse $m = 0, 20 kg$ glisse sans frottement sur une table horizontale percée d'un trou $O$ . Il est relié par un fil inextensible, de masse négligeable, qui passe sans frottement par le trou, à une masse $M = 0, 10 kg$ suspendue verticalement sous la table. Le palet est repéré par ses coordonnées polaires $(r, θ)$ de centre $O$ ; le fil reste tendu et la masse $M$ ne se déplace que verticalement.

1) Montrer que $C = r^{2} θ ˙$ est une constante du mouvement.

2) Montrer que l'énergie mécanique du système formé des deux masses se conserve, et l'écrire en fonction de $r$ , $r ˙$ et $C$ . En déduire l'équation $(m + M) r ¨ = \frac{m C ^{2}}{r ^{3}} - M g$ .

3) Pour quelle valeur de $C$ le palet décrit-il un cercle de rayon $r_{0} = 30 cm$ ? Calculer la vitesse angulaire $ω_{θ}$ correspondante.

4) Linéariser l'équation au voisinage de $r_{0}$ : montrer que l'orbite circulaire est stable et que la pulsation des petites oscillations radiales vaut $ω_{r} = \frac{3 M g}{( m + M ) r _{0}}$ . Calculer $ω_{r}$ , puis $ω_{r} / ω_{θ}$ .

5) La trajectoire perturbée est-elle fermée ? Pour quelle relation entre $m$ et $M$ l'est-elle au premier ordre ? Étudier les cas limites $M ≫ m$ et $M ≪ m$ .

Corrigé

La stratégie. Une conservation du moment cinétique (pour le palet seul) et une conservation de l'énergie (pour le système) réduisent un problème à deux degrés de liberté à une équation en $r$ seul. On cherche ensuite son équilibre et on le linéarise, comme au chapitre des oscillateurs.

1) La constante des aires. Sur le palet s'exercent le poids et la réaction de la table, verticaux, et la tension du fil, dirigée vers le trou $O$ . Par rapport à l'axe vertical passant par $O$ , les deux premières ont un moment nul (parallèles à l'axe) et la troisième aussi (droite d'action passant par $O$ ). Le moment cinétique $m r^{2} θ ˙$ du palet se conserve, donc $C = r^{2} θ ˙$ est constant.

2) L'énergie du système. Le fil étant inextensible, la masse $M$ remonte quand le palet s'éloigne du trou : sa cote vaut $z_{M} = r - λ$ , où $λ$ est la longueur totale du fil, et sa vitesse $z ˙_{M} = r ˙$ . Les deux brins du fil exercent des tensions de même norme $T$ (fil sans masse, trou sans frottement). Leurs puissances se compensent : sur le palet, $T \cdot v = - T r ˙$ ; sur la masse $M$ , la tension est dirigée vers le haut et vaut $+ T z ˙_{M} = T r ˙$ . Les réactions de la table ne travaillent pas, le poids dérive d'une énergie potentielle : l'énergie mécanique du système se conserve, $E = \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2}) + \frac{1}{2} M r ˙^{2} + M g r + cte = \frac{1}{2} (m + M) r ˙^{2} + \frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}} + M g r + cte .$ En dérivant par rapport au temps et en divisant par $r ˙$ (pour un mouvement où $r ˙$ n'est pas identiquement nul) : $(m + M) r ¨ = \frac{m C ^{2}}{r ^{3}} - M g .$ C'est l'équation d'un point de masse $m + M$ soumis à une force radiale effective : le terme $\frac{m C ^{2}}{r ^{3}}$ repousse du trou (c'est l'effet de la rotation), le poids de $M$ y ramène.

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