Deux patineurs qui se croisent

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · A. Moment cinétique d'un point matériel

Énoncé

Deux patineurs de même masse $m = 60 kg$ , assimilés à des points, glissent sans frottement sur une glace horizontale, le long de deux droites parallèles distantes de $d = 1, 5 m$ , en sens opposés, à la même vitesse $v = 3, 0 m s^{- 1}$ . On oriente vers le haut l'axe vertical $Δ$ .

1) Calculer la quantité de mouvement totale du système des deux patineurs.

2) Calculer le moment cinétique $L_{Δ}$ du système par rapport à l'axe vertical passant par le milieu $I$ du segment perpendiculaire aux deux droites, puis par rapport à un axe vertical passant par un point quelconque $P$ de la glace. Pourquoi les deux contributions ont-elles le même signe ? Pourquoi le résultat ne dépend-il pas de $P$ ?

3) Au moment où ils se croisent, chacun saisit une extrémité d'une corde de longueur $d$ et de masse négligeable. Montrer que le milieu de la corde reste en $I$ , puis que le moment cinétique de chaque patineur par rapport à l'axe vertical passant par $I$ se conserve. En déduire la vitesse angulaire $ω$ du couple.

4) Vérifier que $ω d /2 = v$ . Qu'en conclut-on sur la vitesse de chaque patineur au moment où la corde se tend, sur l'énergie cinétique, et sur la tension de la corde ensuite ?

Corrigé

La stratégie. Le moment cinétique d'un système de points par rapport à un axe est la somme algébrique des moments des points : on calcule chaque contribution avec son signe, on additionne, puis on utilise la formule de changement de point de l'exercice 1 pour savoir de quoi dépend le résultat.

1) Quantité de mouvement. Les deux vitesses sont opposées et les masses égales : $p = m v + m (- v) = 0$ . Le système, dans son ensemble, n'avance pas.

2) Moment cinétique. Prenons $I$ pour origine, $u_{x}$ le long des trajectoires, et plaçons le patineur 1 sur la droite $y = d /2$ , avançant selon $+ u_{x}$ , le patineur 2 sur la droite $y = - d /2$ , avançant selon $- u_{x}$ . Pour le patineur 1, $I M_{1} = x_{1} u_{x} + \frac{d}{2} u_{y}$ et $I M_{1} \land m v u_{x} = \frac{d}{2} m v u_{y} \land u_{x} = - \frac{m v d}{2} u_{z},$ et pour le patineur 2, $(x_{2} u_{x} - \frac{d}{2} u_{y}) \land (- m v u_{x}) = \frac{d}{2} m v u_{y} \land u_{x} = - \frac{m v d}{2} u_{z}$ . Avec $u = u_{z}$ vers le haut, $L_{Δ} = - \frac{m v d}{2} - \frac{m v d}{2} = - m v d = - 60 \times 3, 0 \times 1, 5 = - 270 kg m^{2} s^{- 1} .$ Le signe moins dit que le système tourne dans le sens horaire vu d'en haut, avec cette disposition. Les deux contributions ont le même signe parce que les deux patineurs, l'un d'un côté de $I$ et dans un sens, l'autre de l'autre côté et dans l'autre sens, tournent tous deux dans le même sens autour de $I$ : chacun a un bras de levier $d /2$ , et chacun « contourne » $I$ du même côté. Alors que les quantités de mouvement se compensent, les moments cinétiques s'ajoutent.

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