L'hélicoptère et son rotor de queue

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

Un hélicoptère, cabine à l'arrêt, fait démarrer son rotor principal. Le moteur exerce un couple sur le rotor ; par réaction, le rotor exerce un couple opposé sur la cabine. Le rotor a $J_{r} = 1, 2 \times 1 0^{3} kg m^{2}$ et atteint $30 rad / s$ ; la cabine (sans rotor de queue) a $J_{c} = 9, 0 \times 1 0^{3} kg m^{2}$ . On néglige tout couple extérieur autour de l'axe vertical.

Pourquoi le moment cinétique total \{rotor $+$ cabine\} se conserve-t-il ? Valeur initiale ?

Sans rotor de queue, déterminer la vitesse angulaire $ω_{c}$ de la cabine et son sens.

Le pilote veut la cabine immobile. Quel rôle joue le rotor de queue ?

Le rotor de queue, à $d = 8, 0 m$ de l'axe, doit compenser un couple moteur de $3, 6 \times 1 0^{3} Nm$ . Quelle poussée doit-il développer ?

Corrigé

1. Le moteur est une force intérieure au système \{rotor $+$ cabine\} (couple sur le rotor, couple opposé sur la cabine). Aucun couple extérieur autour de l'axe vertical (poids parallèle à l'axe, réaction sur l'axe). Le système partant du repos : $L_{tot} = J_{r} ω_{r} + J_{c} ω_{c} = 0$ .

2. $ω_{c} = - \frac{J _{r}}{J _{c}} ω_{r} = - \frac{1 , 2 \times 1 0 ^{3}}{9 , 0 \times 1 0 ^{3}} \times 30 \approx - 4, 0 rad / s$ : la cabine tournerait en sens inverse du rotor.

3. Pour garder la cabine immobile, il faut un couple extérieur : le rotor de queue fournit une poussée latérale dont le moment par rapport à l'axe principal compense le couple de réaction du rotor principal.

4. $Γ = F d$ donne $F = \frac{Γ}{d} = \frac{3 , 6 \times 1 0 ^{3}}{8 , 0} \approx 4, 5 \times 1 0^{2} N$ .

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