La balance romaine

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · B. Moment d'une force

Énoncé

Une balance romaine est un fléau rigide qui peut tourner sans frottement autour d'un axe horizontal fixe $Δ$ . L'objet à peser, de masse $M$ , est suspendu à un crochet situé à la distance $a = 5, 0 cm$ de l'axe, d'un côté ; de l'autre côté coulisse un curseur de masse $m_{c} = 0, 50 kg$ , à la distance $x$ de l'axe. Le fléau lui-même, de masse $m_{f} = 0, 50 kg$ , est modélisé par un ensemble de points matériels $M_{i}$ de masses $m_{i}$ , de centre de masse $G$ .

1) Montrer que la somme des moments en un point $O$ de l'axe des poids des points $M_{i}$ est égale au moment du poids total $m_{f} g$ appliqué en $G$ .

2) Montrer que, pour un système de points au repos, la somme des moments des forces extérieures par rapport à $Δ$ est nulle (on appliquera le théorème du moment cinétique à chaque point, et l'on utilisera le fait que deux points exercent l'un sur l'autre des forces opposées portées par la droite qui les joint).

3) Le centre de masse du fléau est du côté du crochet, à $b = 2, 0 cm$ de l'axe. Écrire la condition d'équilibre du fléau horizontal. Pourquoi la réaction de l'axe n'y intervient-elle pas ? En déduire $x$ en fonction de $M$ .

4) Montrer que la graduation est linéaire ; donner le pas, en centimètres par kilogramme, la position $x_{0}$ du zéro, et la masse maximale mesurable si le curseur peut aller jusqu'à $60 cm$ . Quelle erreur sur $M$ provoque une erreur de lecture de $1 mm$ sur $x$ ?

5) Calculer la réaction de l'axe à la charge maximale.

Corrigé

La stratégie. Le fléau n'est pas un point, mais un système de points. On établit d'abord les deux outils qui permettent de le traiter avec le théorème du moment cinétique du cours : le poids d'un système se comporte, pour les moments, comme s'il était appliqué au centre de masse ; et à l'équilibre, les forces intérieures disparaissent de la somme des moments.

1) Le moment du poids d'un système. Pour chaque point, $M_{O} (m_{i} g) = O M_{i} \land m_{i} g$ . Comme $g$ est le même pour tous les points, la bilinéarité donne $i \sum O M_{i} \land m_{i} g = (i \sum m_{i} O M_{i}) \land g = m_{f} O G \land g = O G \land m_{f} g,$ par la définition du centre de masse, $m_{f} O G = \sum_{i} m_{i} O M_{i}$ . Le moment total des poids est celui du poids total appliqué en $G$ . Ce résultat suppose un champ de pesanteur uniforme, ce qui est le cas à l'échelle d'une balance.

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