La comète et la loi des aires

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

Une comète plonge vers le Soleil sur une orbite très allongée : elle file à toute allure au plus près (périhélie), puis ralentit énormément en s'éloignant (aphélie). Pour une comète fictive : $r_{P} = 0, 59$ ua avec $v_{P} = 54 km / s$ , et $r_{A} = 35$ ua. La seule force est l'attraction gravitationnelle du Soleil, dirigée vers lui.

La force gravitationnelle est centrale. Montrer que $L_{O}$ est constant. Qu'en déduit-on sur la nature plane du mouvement ?

Définir la vitesse aréolaire $\frac{d A}{d t}$ et montrer qu'elle vaut $\frac{L}{2 m}$ . Conclure (2ᵉ loi de Kepler).

Au périhélie et à l'aphélie, $v ⊥ O M$ . En déduire $r_{P} v_{P} = r_{A} v_{A}$ , puis calculer $v_{A}$ .

Comparer $v_{P}$ et $v_{A}$ . La comète balaie-t-elle plus de surface par seconde près du Soleil ou loin ? Justifier sans calcul.

Corrigé

1. TMC en $O$ (Soleil) : $\frac{d L _{O}}{d t} = O M \land F$ . La force étant centrale, $F$ est colinéaire à $O M$ , donc $O M \land F = 0$ et $L_{O} = cte$ . Comme $L_{O} = m O M \land v$ est constant, $O M$ reste dans un plan fixe (perpendiculaire à $L_{O}$ ) : mouvement plan.

2. Pendant $d t$ , le rayon balaie un triangle d'aire $d A = \frac{1}{2} O M \land v d t$ . Or $O M \land v = L / m$ , donc $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = cte$ : aires égales en temps égaux (2ᵉ loi de Kepler).

3. Aux apsides, $v ⊥ O M$ donc $O M \land v = r v$ ; la constance de $L = m r v$ donne $r_{P} v_{P} = r_{A} v_{A}$ , d'où $v_{A} = \frac{r _{P}}{r _{A}} v_{P} = \frac{0 , 59}{35} \times 54 \approx 0, 91 km / s$ .

4. $v_{P} \approx 54 km / s ≫ v_{A} \approx 0, 91 km / s$ (environ $60$ fois plus vite au périhélie). Mais $d A / d t = L /2 m$ est la même partout : la comète balaie la même surface par seconde près du Soleil (secteur court mais large) et loin (secteur long mais étroit).

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