La patineuse qui s'emballe

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

À l'entraînement, une patineuse termine sa chorégraphie par une pirouette. Bras tendus en croix, elle amorce sa rotation, puis ramène brusquement les bras le long du corps : sa vitesse de rotation augmente nettement, sans qu'aucune force horizontale ne l'ait poussée. Le frottement du patin sur la glace est négligeable, et le poids comme la réaction de la glace sont verticaux (selon l'axe de rotation). On donne $J_{1} = 4, 8 kg m^{2}$ (bras tendus), $J_{2} = 1, 6 kg m^{2}$ (bras repliés), et $ω_{1} = 2, 0 rad / s$ .

Qualitativement, pourquoi le moment cinétique autour de l'axe vertical se conserve-t-il pendant la figure ?

Exprimer littéralement $ω_{2}$ en fonction de $J_{1}$ , $J_{2}$ , $ω_{1}$ .

Calculer $ω_{2}$ , puis le nombre de tours par seconde à la fin.

L'énergie cinétique de rotation est-elle conservée ? Calculer $E_{c 1}$ et $E_{c 2}$ et interpréter.

Corrigé

1. Le poids et la réaction de la glace sont verticaux, colinéaires à l'axe $(Δ)$ : leur moment par rapport à $(Δ)$ est nul. Le frottement étant négligeable, $M_{Δ} = 0$ , donc $L = J ω = constante$ . Les muscles qui replient les bras sont des forces internes : elles ne modifient pas $L$ .

2. $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ donne $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1}$ .

3. $ω_{2} = \frac{4 , 8}{1 , 6} \times 2, 0 = 6, 0 rad / s$ . En tours/s : $n = \frac{ω _{2}}{2 π} \approx 0, 95 Hz$ , soit $environ 1 tour/s$ (contre $0, 32$ au départ).

4. $E_{c 1} = \frac{1}{2} J_{1} ω_{1}^{2} = 9, 6 J$ ; $E_{c 2} = \frac{1}{2} J_{2} ω_{2}^{2} = 29 J$ . L'énergie a triplé : $E_{c 2} > E_{c 1}$ . Elle n'est pas conservée car la patineuse fournit un travail musculaire pour rapprocher ses bras de l'axe (contre la « force centrifuge ») ; ce travail interne augmente $E_{c}$ mais laisse $L$ inchangé.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.