La poignée loin des gonds

Exercice · niveau 1 (application) · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

On ouvre une porte de largeur $d = 0, 80 m$ articulée sur ses gonds (axe vertical par les charnières). On pousse perpendiculairement au plan de la porte avec une force $F = 50 N$ . La poignée est près du bord libre, à $0, 80 m$ de l'axe. On compare à une poussée près des gonds, à $r = 0, 10 m$ de l'axe.

Pourquoi est-il bien plus facile d'ouvrir la porte en poussant loin des gonds que près de l'axe ?

Donner l'expression du moment $M$ d'une force $F$ par rapport à l'axe en fonction de $F$ , $r$ et de l'angle $θ$ entre $F$ et le plan de la porte. Cas d'une poussée perpendiculaire ?

Calculer $M$ à la poignée ( $0, 80 m$ ) puis près des gonds ( $0, 10 m$ ). Combien de fois faut-il pousser plus fort près de l'axe pour le même effet ?

On pousse la poignée obliquement, avec $θ = 3 0^{\circ}$ par rapport au plan de la porte. Calculer le moment et commenter.

Corrigé

1. L'effet rotatif dépend non seulement de l'intensité, mais aussi du bras de levier (distance de l'axe à la droite d'action). Plus on pousse loin des gonds, plus ce bras est grand, donc plus le moment est grand : la porte tourne plus facilement.

2. $M = r F sin θ$ , où $θ$ est l'angle entre $F$ et le plan de la porte. Pour une poussée perpendiculaire ( $θ = 9 0^{\circ}$ , $sin θ = 1$ ), $M = r F$ .

3. À la poignée : $M = 0, 80 \times 50 = 40 Nm$ . Près des gonds : $M = 0, 10 \times 50 = 5, 0 Nm$ . Le moment est $8$ fois plus grand à la poignée : pour le même effet près des gonds, il faudrait $pousser 8 fois plus fort$ ( $F^{'} = 400 N$ ).

4. Poussée oblique, $θ = 3 0^{\circ}$ : $M = d F sin 3 0^{\circ} = 0, 80 \times 50 \times 0, 50 = 20 Nm$ , deux fois moins qu'en perpendiculaire. Seule la composante de $F$ perpendiculaire à la porte fait tourner ; la composante dans le plan « tire » sur l'axe sans contribuer.

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