La toupie et le vélo : l'art de ne pas tomber

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

Un enfant lance une toupie : tant qu'elle tourne vite, elle reste dressée ; dès qu'elle ralentit, elle vacille et tombe. Même mystère à vélo : à l'arrêt on tombe, mais lancé à $20 km / h$ le vélo tient presque tout seul. Le responsable est le moment cinétique, qui « s'accroche » à sa direction. On modélise une roue par un anneau de masse $m = 2, 0 kg$ et de rayon $R = 0, 33 m$ , tournant à $N = 180$ tr/min, de moment d'inertie $J = m R^{2}$ .

Expliquer qualitativement pourquoi un solide qui tourne vite « résiste » au basculement : que faudrait-il faire à son moment cinétique $L = J ω$ pour le faire basculer ?

Convertir $N$ en vitesse angulaire $ω$ ( $rad / s$ ), puis calculer $J$ .

En déduire l'ordre de grandeur de $L = J ω$ . Direction ?

À l'arrêt ( $ω = 0$ ), que vaut $L$ ? Conclure sur la différence vélo lancé / vélo immobile.

Corrigé

1. Le moment cinétique est un vecteur $L = J ω$ porté par l'axe de rotation. Faire basculer la roue, c'est changer la direction de $L$ . Or modifier un vecteur exige un moment de force ( $d L_{O} / d t = M_{O}$ ) : plus $L$ est grand, plus il faut un moment important pour le réorienter. La roue résiste d'autant mieux qu'elle tourne vite — c'est l'analogue de l'inertie pour la rotation.

2. $ω = \frac{2 π N}{60} = \frac{2 π \times 180}{60} \approx 19 rad / s$ . $J = m R^{2} = 2, 0 \times 0, 3 3^{2} \approx 0, 22 kg m^{2}$ .

3. $L = J ω \approx 0, 22 \times 18, 8 \approx 4, 1 kg m^{2} / s$ . $L$ est porté par l'axe de la roue (horizontal, perpendiculaire au plan de la roue), sens donné par la règle de la main droite.

4. À l'arrêt, $ω = 0$ donc $L = 0$ : plus aucun moment cinétique à « protéger », la moindre perturbation fait tomber le vélo. Lancé, $L$ est important et sa direction stable : il faut un moment notable pour le réorienter, ce qui stabilise le vélo (le cycliste corrige en plus par la direction).

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.