Le fil qui s'enroule autour d'un poteau

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · C. Le théorème du moment cinétique

Énoncé

Sur une table horizontale sans frottement, un palet de masse $m = 0, 10 kg$ est attaché à un fil inextensible de masse négligeable, dont l'autre extrémité est fixée à un poteau vertical cylindrique d'axe $O z$ et de rayon $a = 5, 0 cm$ . À $t = 0$ , la partie libre du fil, tendue et tangente au poteau, a la longueur $ℓ_{0} = 1, 0 m$ , et le palet reçoit une vitesse $v_{0} = 2, 0 m s^{- 1}$ perpendiculaire au fil : le fil s'enroule sur le poteau. On repère le point de tangence $P$ du fil sur le poteau par l'angle $φ$ , et l'on admet que la position du palet s'écrit $O M = a u_{r} (φ) + ℓ u_{φ} (φ)$ , où $ℓ$ est la longueur libre du fil.

1) Justifier que $ℓ + a φ = ℓ_{0}$ (en prenant $φ = 0$ à l'instant initial). Calculer la vitesse du palet et montrer qu'elle est perpendiculaire au fil. En déduire que sa norme reste égale à $v_{0}$ .

2) Calculer le bras de levier de la tension par rapport à l'axe du poteau. Le moment cinétique du palet par rapport à cet axe se conserve-t-il ? Comparer avec le fil qui passe par un trou (exercice 6) : qu'est-ce qui est conservé dans chaque cas ?

3) Montrer que $L = m v_{0} ℓ$ . Établir $ℓ ℓ ˙ = - a v_{0}$ , puis la durée d'enroulement complet $τ = \frac{ℓ _{0}^{2}}{2 a v _{0}}$ . Montrer que le théorème du moment cinétique donne alors la tension $T = \frac{m v _{0}^{2}}{ℓ}$ .

4) Retrouver cette tension par le principe fondamental de la dynamique. Le fil casse sous une tension de $20 N$ : pour quelle longueur, à quel instant ? Étudier le cas limite $a \to 0$ .

Corrigé

La stratégie. C'est le piège symétrique de l'exercice précédent. On ne présuppose rien : on calcule la vitesse, le moment de la tension et le moment cinétique, et l'on regarde ce qui est nul.

1) La vitesse. La longueur totale du fil est constante : la partie enroulée, un arc de cercle de rayon $a$ et d'angle $φ$ , a pour longueur $a φ$ , et la partie libre $ℓ$ ; d'où $ℓ + a φ = ℓ_{0}$ , et $ℓ ˙ = - a φ ˙$ . On dérive la position, avec $\frac{d u _{r}}{d t} = φ ˙ u_{φ}$ et $\frac{d u _{φ}}{d t} = - φ ˙ u_{r}$ : $v = a φ ˙ u_{φ} + ℓ ˙ u_{φ} - ℓ φ ˙ u_{r} = (a φ ˙ + ℓ ˙) u_{φ} - ℓ φ ˙ u_{r} = - ℓ φ ˙ u_{r} .$ Le fil est porté par $u_{φ}$ (il va du point de tangence au palet) : la vitesse est perpendiculaire au fil, donc à la tension. La puissance de la tension est nulle ; le poids et la réaction de la table, verticaux, ne travaillent pas non plus. Le théorème de l'énergie cinétique donne $v = v_{0}$ à chaque instant, et $v_{0} = ℓ φ ˙$ .

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