Le pendule interrompu de Galilée

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · D. Application : le pendule simple par le TMC

Énoncé

Un pendule simple (masse $m$ , fil de longueur $ℓ = 1, 00 m$ , point de suspension $O$ ) oscille dans un plan vertical. Un clou $K$ est planté à la distance $a = 0, 64 m$ à la verticale sous $O$ : quand le fil passe à gauche de la verticale, il s'appuie sur le clou et la masse continue sur un cercle de rayon $ℓ^{'} = ℓ - a$ centré en $K$ . On repère la masse par l'angle $θ$ du fil avec la verticale tant qu'il est libre, par l'angle $ψ$ du brin $K M$ avec la verticale quand il est appuyé sur le clou.

1) Écrire le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe horizontal passant par $O$ (fil libre), puis par rapport à l'axe horizontal passant par $K$ (fil appuyé). Pourquoi la tension n'apparaît-elle dans aucune des deux équations ?

2) La vitesse de la masse est continue au passage à la verticale. En déduire le rapport des vitesses angulaires juste après et juste avant. Que devient la tension du fil à cet instant ?

3) Petites oscillations : calculer la période et la comparer à celle du pendule sans clou ; calculer le rapport des amplitudes angulaires de part et d'autre de la verticale. Montrer que la masse remonte à la même hauteur des deux côtés (l'argument de Galilée).

4) Le pendule est lâché sans vitesse, fil horizontal, du côté où il est libre. Montrer que la masse fait le tour complet du clou, fil tendu, si et seulement si $ℓ - a \leq \frac{2 ℓ}{5}$ . Est-ce le cas ici ? Calculer la tension au sommet.

Corrigé

La stratégie. Le théorème du moment cinétique s'applique en un point fixe : ici il y en a deux, et l'on choisit à chaque phase celui autour duquel la masse tourne réellement. On raccorde les deux phases par la continuité de la vitesse, puis on utilise l'énergie pour comparer les hauteurs.

1) Deux théorèmes. Fil libre, la masse décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $ℓ$ : $L_{Δ_{O}} = m ℓ^{2} θ ˙$ , le poids a pour moment $- m g ℓ sin θ$ , et la tension, portée par $O M$ , a un bras de levier nul. D'où $m ℓ^{2} θ ¨ = - m g ℓ sin θ$ . Fil appuyé, la masse décrit un cercle de centre $K$ , point fixe, de rayon $ℓ^{'}$ ; la tension est portée par le brin $K M$ , sa droite d'action passe par $K$ : $m ℓ^{'2} ψ ¨ = - m g ℓ^{'} sin ψ$ . Dans chaque phase, la tension est portée par le brin qui passe par le centre de rotation : c'est ce qui la fait disparaître, et c'est pourquoi on choisit $O$ dans la première phase, $K$ dans la seconde.

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